Question

如圖，已知△ABC是邊長為2

3

的等邊三角形．點(diǎn)E、F分別在CB和BC的延長線上，且∠EAF=12O°，設(shè)BE=x，CF=y．
（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出自變量x的取值范圍．
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△ABE≌△FCA．

Answer 1

分析：（1）由已知可推出∠E=∠CAF，根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠EBA=∠ACF，從而可判定△ABE∽△FCA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例即可表示出x與y的關(guān)系，從而不難求解．
（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可以求得x的值．

解答：解：（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°．
∵∠EAF=120°，
∴∠EAB+∠CAF=60°
∵∠EAB+∠E=∠ABC=60°
∴∠E=∠CAF
∵∠EBA=∠ACF=120°
∴△ABE∽△FCA，
∴EB：AC=BA：CF，即x：2

3

=2

3

：y
∴y=

12

x

（自變量x的取值范圍為x＞0）．即y與x的函數(shù)表達(dá)式是y=

12

x

（x＞0）．

（2）若△ABE≌△FCA時(shí)，BE=CA，即x=2

3

．
所以，當(dāng)x=2

3

時(shí)，△ABE≌△FCA．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．