【題目】如圖,在平面直角坐標系中,矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4).點A在DE上,以A為頂點的拋物線過點C,且對稱軸x=1交x軸于點B.連接EC,AC.點P,Q為動點,設(shè)運動時間為t秒.

(1)填空:點A坐標為;拋物線的解析式為
(2)在圖①中,若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動,同時,點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動,當一個點到達終點時,另一個點隨之停止運動.當t為何值時,△PCQ為直角三角形?
(3)在圖②中,若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動,過點P做PF⊥AB,交AC于點F,過點F作FG⊥AD于點G,交拋物線于點Q,連接AQ,CQ.當t為何值時,△ACQ的面積最大?最大值是多少?

【答案】
(1)(1,4),y=﹣(x﹣1)2+4
(2)解:依題意有:OC=3,OE=4,

∴CE= = =5,

當∠QPC=90°時,

∵cos∠QCP= = ,

= ,

解得t= ;

當∠PQC=90°時,

∵cos∠QCP= = ,

= ,

解得t=

∴當t= 或t= 時,△PCQ為直角三角形


(3)解:∵A(1,4),C(3,0),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,則

解得

故直線AC的解析式為y=﹣2x+6.

∵P(1,4﹣t),將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,得x=1+ ,

∴Q點的橫坐標為1+ ,

將x=1+ 代入y=﹣(x﹣1)2+4中,得y=4﹣

∴Q點的縱坐標為4﹣ ,

∴QF=(4﹣ )﹣(4﹣t)=t﹣ ,

∴SACQ=SAFQ+SCFQ

= FQAG+ FQDG

= FQ(AG+DG)

= FQAD

= ×2(t﹣

=﹣ +t

=﹣ (t2+4﹣4t﹣4)

=﹣ (t﹣2)2+1,

∴當t=2時,△ACQ的面積最大,最大值是1


【解析】解:(1)∵拋物線的對稱軸為x=1,矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4),點A在DE上,

∴點A坐標為(1,4),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+4,

把C(3,0)代入拋物線的解析式,可得a(3﹣1)2+4=0,

解得a=﹣1.

故拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;

(1)由拋物線的對稱軸為x=1,矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4),點A在DE上,得到點A坐標為(1,4),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+4,把C(3,0)代入拋物線的解析式,求出a=﹣1,得到拋物線的解析式;(2)依題意有OC=3,OE=4,根據(jù)勾股定理CE=5,當∠QPC=90°時,cos∠QCP= PC: CQ = OC:CE,得到 =, 解得t=; 當∠PQC=90°時,由cos∠QCP= CQ: PC = OC: CE ,得到=,解得t=,當t= 或t= 時,△PCQ為直角三角形;(3)把A(1,4),C(3,0),代入直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b,得到直線AC的解析式為y=﹣2x+6,由P(1,4﹣t),將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,得到Q點的橫坐標為1+,Q點的縱坐標為4﹣,得到QF=4﹣,所以SACQ=SAFQ+SCFQ,求出當t=2時,△ACQ的面積最大,最大值是1;此題是綜合題,難度較大,計算和解方程時需認真仔細.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標系中,A(6,a)B(b,0),M(0,c),P點為y軸上一動點,且(b2)2+|a6|+0

(1)求點B、M的坐標;

(2)P點在線段OM上運動時,試問是否存在一個點P使SPAB13,若存在,請求出P點的坐標與AB的長度;若不存在,請說明理由.

(3)不論P點運動到直線OM上的任何位置(不包括點O、M),∠PAM、∠APB、∠PBO三者之間是否都存在某種固定的數(shù)量關(guān)系,如果有,請利用所學(xué)知識找出并證明;如果沒有,請說明理由.

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問題已知,,試確定的取值范圍有如下解法:

解:

同理得:

,

請按照上述方法,完成下列問題:

1)已知關(guān)于的方程組的解均為負數(shù),若,求的取值范圍.

2)已知,,若成立,求的取值范圍(結(jié)果用含的式子表示).

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(1)直接寫出c的值;
(2)現(xiàn)因搞慶典活動,計劃沿拱橋的臺階表面鋪設(shè)一條寬度為1.5m的地毯,地毯的價格為20元/m2 , 求購買地毯需多少元?
(3)在拱橋加固維修時,搭建的“腳手架”為矩形EFGH(H、G分別在拋物線的左右側(cè)上),并鋪設(shè)斜面EG.已知矩形EFGH的周長為27.5m,求斜面EG的傾斜角∠GEF的度數(shù).(精確到0.1°)

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B.3個
C.2個
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