如圖在Rt△AOB中,∠BAO=90°,O為坐標(biāo)原點(diǎn),B在x軸正半軸上,A在第一象限,OA和AB的長是方程x2-3
5
x+10=0
兩根,且OA<AB.
(1)求直線AB的解析式;
(2)將△AOB沿垂直于x軸的線段CD折疊(點(diǎn)C在x軸上,且不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)D在線段AB上),使點(diǎn)B落在x軸上,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,是否存在這樣的點(diǎn)C,使得△AED為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)由OA和AB的長是方程x2-3
5
+10=0的兩根,且OA<AB,解此方程即可求得OA與AB的長,然后由勾股定理求得OB的長,則可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);然后作AF⊥x軸于F,由直角三角形的性質(zhì),即可求得AF的長,繼而由勾股定理求得OF的長,即可求點(diǎn)A的坐標(biāo),然后由待定系數(shù)法求得直線AB的解析式;
(2)分別從。┊(dāng)Rt△AED以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)E與原點(diǎn)O重合與ⅱ)當(dāng)Rt△AED以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)去分析求解即可求得答案.
解答:解:(1)∵x2-3
5
+10=0,
即(x-
5
)(x-2
5
)=0,
∴x1=
5
,x2=2
5
,
∵OA和AB的長是方程x2-3
5
+10=0的兩根,且OA<AB,
∴OA=
5
,AB=2
5
,
∵∠BAO=90°,
∴OB=
(
5
)
2
+(2
5
)
2
=5,
作AF⊥x軸于F,如圖①:
則AF=
OA•AB
OB
=
5
•2
5
5
=2,
∴OF=
OA2-AF2
=
(
5
)
2
-22
=1,
∴A(1,2),B(5,0),
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,
則有
k+b=2
5k+b=0
,
解得
k=-
1
2
b=
5
2

∴直線AB的解析式為:y=-
1
2
x+
5
2
;

(2)存在.
分兩種情況討論:
。┊(dāng)Rt△AED以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)E與原點(diǎn)O重合,如圖②.
∵OC=BC=
1
2
OB=
5
2
,
∴C1
5
2
,0);
ⅱ)當(dāng)Rt△AED以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖③,過點(diǎn)A作AF⊥x軸于F.
則OF=1.
∵∠AED=90°,
∴∠AEO+∠DEC=90°.
∵∠DEC=∠DBC,
∴∠AEO+∠DBC=90°.
又∵∠AOE+∠DBC=90°,
∴∠AOE=∠AEO.
∴△AOE是等腰三角形,
∴OE=2OF=2,
∴BE=3.
∴EC=
3
2
,
∴OC=OE+EC=2+
3
2
=
7
2

∴C2
7
2
,0).
綜上所述,存在這樣的點(diǎn)C,使得△AED為直角三角形,點(diǎn)C的坐標(biāo)為:C1
3
2
,0)和C2
7
2
,0).
點(diǎn)評(píng):此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及一元二次方程的解法.此題難度較大,注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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5
x+10=0
兩根,且OA<AB.
(1)求直線AB的解析式;
(2)將△AOB沿垂直于x軸的線段CD折疊(點(diǎn)C在x軸上,且不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)D在線段AB上),使點(diǎn)B落在x軸上,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,0).
①是否存在這樣的點(diǎn)C,使得△AED為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
②設(shè)△CDE與△AOB重疊部分的面積為S,直接寫出S與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式(包括自變量x的取值范圍).

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(2)將△AOB沿垂直于x軸的線段CD折疊(點(diǎn)C在x軸上,且不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)D在線段AB上),使點(diǎn)B落在x軸上,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,是否存在這樣的點(diǎn)C,使得△AED為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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