Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，點(diǎn)P，Q分別在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，得到△PDE，點(diǎn)D落在線段PQ上．

（1）求證：PQ∥AB
（2）若點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，求CP的長(zhǎng)。
（3）若△PDE與△ABC重疊部分圖形的周長(zhǎng)為T(mén)，且12≤T≤16，求x的取值范圍。

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，

∴AC==12．

∵==，==，

∴=．

∵∠C=∠C，

∴△PQC∽△BAC，

∴∠CPQ=∠B，

∴PQ∥AB

（2）

解：連接AD，

∵PQ∥AB，

∴∠ADQ=∠DAB．

∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，

∴∠DAQ=∠DAB，

∴∠ADQ=∠DAQ，

∴AQ=DQ．

在Rt△CPQ中，PQ=5x，

∵PD=PC=3x，

∴DQ=2x．

∵AQ=12﹣4x，

∴12﹣4x=2x，解得x=2，

∴CP=3x=6．

（3）

解：當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，

∵PQ∥AB，

∴∠DPE=∠PEB．

∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，

∴∠B=∠PEB，

∴PB=PE=5x，

∴3x+5x=9，解得x=．

①當(dāng)0＜x≤時(shí)，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此時(shí)0＜T≤；

②當(dāng)＜x＜3時(shí)，設(shè)PE交AB于點(diǎn)G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足為H，

∴HG=DF，F(xiàn)G=DH，Rt△PHG∽R(shí)t△PDE，

∴==．

∵PG=PB=9﹣3x，

∴==，

∴GH=（9﹣3x），PH=（9﹣3x），

∴FG=DH=3x﹣（9﹣3x），

∴T=PG+PD+DF+FG=（9﹣3x）+3x+（9﹣3x）+[3x﹣（9﹣3x）]

=x+，

此時(shí)，＜T＜18．

∴當(dāng)0＜x＜3時(shí)，T隨x的增大而增大，

∴T=12時(shí)，即12x=12，解得x=1；

TA=16時(shí)，即x+=16，解得x=．

∵12≤T≤16，

∴x的取值范圍是1≤x≤．

【解析】（1）先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再由相似三角形的判定定理得出△PQC∽△BAC，由相似三角形的性質(zhì)得出∠CPQ=∠B，由此可得出結(jié)論；
（2）連接AD，根據(jù)PQ∥AB可知∠ADQ=∠DAB，再由點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，得出∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根據(jù)勾股定理可知，AQ=12﹣4x，故可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出x的值，再分0＜x≤；＜x＜3兩種情況進(jìn)行分類討論．
此題考查了幾何圖形的折疊問(wèn)題，涉及的幾何知識(shí)有勾股定理，相似三角形的判定定理和等腰三角形的性質(zhì)等。