Question

【題目】已知二次函數(shù)的最大值為4，且該拋物線與軸的交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為.

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)，的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)是軸上的動點(diǎn)，

①求的最大值及對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；

②設(shè)是軸上的動點(diǎn)，若線段與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）①最大值是，的坐標(biāo)為，②的取值范圍為或或.

【解析】

（1）先利用對稱軸公式x=，計(jì)算對稱軸，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），再將兩點(diǎn)代入列二元一次方程組求出解析式；
（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：可知P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)|PC-PD|取得最大值，求出直線CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）先把函數(shù)中的絕對值化去，可知，此函數(shù)是兩個(gè)二次函數(shù)的一部分，分三種情況進(jìn)行計(jì)算：①當(dāng)線段PQ過點(diǎn)（0，3），即點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，兩圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)線段PQ過點(diǎn)（3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（3，0）重合時(shí)，兩函數(shù)有兩個(gè)公共點(diǎn)，寫出t的取值；②線段PQ與當(dāng)函數(shù)y=a|x|2-2a|x|+c（x≥0）時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求t的值；③當(dāng)線段PQ過點(diǎn)（-3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（-3，0）重合時(shí)，線段PQ與當(dāng)函數(shù)y=a|x|2-2a|x|+c（x＜0）時(shí)也有一個(gè)公共點(diǎn)，則當(dāng)t≤-3時(shí)，都滿足條件；綜合以上結(jié)論，得出t的取值．

解：（1）∵，

∴的對稱軸為.

∵人最大值為4，

∴拋物線過點(diǎn).

得，

解得.

∴該二次函數(shù)的解析式為.

點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）①∵，

∴當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，取得最大值.

連接并延長交軸于點(diǎn)，.

∴的最大值是.

易得直線的方程為.

把代入，得.

∴此時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

②的解析式可化為

設(shè)線段所在直線的方程為，將，的坐標(biāo)代入，可得線段所在直線的方程為.

（1）當(dāng)線段過點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí).

∴當(dāng)時(shí)，線段與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn).

（2）當(dāng)線段過點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí).

當(dāng)線段過點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，此時(shí)線段與函數(shù)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn).

所以當(dāng)時(shí)，線段與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn).

（3）將帶入，并整理，得.

.

令，解得.

∴當(dāng)時(shí)，線段與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn).

綜上所述，的取值范圍為或或.