Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

（1）證明：；

（2）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小，并說明理由；

（3）當(dāng)的最小值為時(shí)，則正方形的邊長(zhǎng)為___________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)位于與的交點(diǎn)處時(shí)，的值最小，理由見解析；（3）．

【解析】

(1)由題意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易證出△AMB≌△ENB；
(2)根據(jù)"兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)；
(3)過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，由題意求出∠EBF=30°，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長(zhǎng)為.

解：（1）∵是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，即．

又∵，

∴；

（2）如圖，連接，當(dāng)點(diǎn)位于與的交點(diǎn)處時(shí)，的值最�。�

理由如下：

連接，

由（1）知，，

∴．

∵，

∴是等邊三角形，

∴．

∴根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得最短．

當(dāng)點(diǎn)位于與的交點(diǎn)處時(shí)，的值最小，即等于的長(zhǎng)．

（3）正方形的邊長(zhǎng)為邊．

過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，

∴．

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，．

在中，

∵，

∴，

解得，（舍去負(fù)值）．

∴正方形的邊長(zhǎng)為．