【題目】已知正方形ABCD中,E為對(duì)角線BD上一點(diǎn),過E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F,連接DF,G為DF中點(diǎn),連接EG,CG.
(1)求證:EG=CG;
(2)將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②所示,取DF中點(diǎn)G,連接EG,CG.問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;
(3)將圖①中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度,如圖③所示,再連接相應(yīng)的線段,問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?通過觀察你還能得出什么結(jié)論(均不要求證明).
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析
【解析】
試題分析:(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,可證出CG=EG.
(2)結(jié)論仍然成立,連接AG,過G點(diǎn)作MN⊥AD于M,與EF的延長線交于N點(diǎn);再證明△DAG≌△DCG,得出AG=CG;再證出△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再證明△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后證出CG=EG.
(3)結(jié)論依然成立.還知道EG⊥CG.
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠DCF=90°,
在Rt△FCD中,
∵G為DF的中點(diǎn),
∴CG=FD,
同理,在Rt△DEF中,
EG=FD,
∴CG=EG.
(2)解:(1)中結(jié)論仍然成立,即EG=CG.
證法一:連接AG,過G點(diǎn)作MN⊥AD于M,與EF的延長線交于N點(diǎn).
在△DAG與△DCG中,
∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴△DAG≌△DCG(SAS),
∴AG=CG;
在△DMG與△FNG中,
∵∠DGM=∠FGN,F(xiàn)G=DG,∠MDG=∠NFG,
∴△DMG≌△FNG(ASA),
∴MG=NG;
∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°,
∴四邊形AENM是矩形,
在矩形AENM中,AM=EN,
在△AMG與△ENG中,
∵AM=EN,∠AMG=∠ENG,MG=NG,
∴△AMG≌△ENG(SAS),
∴AG=EG,
∴EG=CG.
證法二:延長CG至M,使MG=CG,
連接MF,ME,EC,
在△DCG與△FMG中,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG≌△FMG.
∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,
∴MF∥CD∥AB,
∴EF⊥MF.
在Rt△MFE與Rt△CBE中,
∵MF=CB,∠MFE=∠EBC,EF=BE,
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB.
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°,
∴△MEC為直角三角形.
∵MG=CG,
∴EG=MC,
∴EG=CG.
(3)解:(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下:
過F作CD的平行線并延長CG交于M點(diǎn),連接EM、EC,過F作FN垂直于AB于N.
由于G為FD中點(diǎn),易證△CDG≌△MFG,得到CD=FM,
又因?yàn)锽E=EF,易證∠EFM=∠EBC,則△EFM≌△EBC,∠FEM=∠BEC,EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°,∴∠FEC+∠FEM=90°,即∠MEC=90°,
∴△MEC是等腰直角三角形,
∵G為CM中點(diǎn),
∴EG=CG,EG⊥CG.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直角梯形AOBC的位置圖所示,∠OAC=90°,AC∥OB,OA=4,AC=5,OB=6.M、N分別在線段AC、線段BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)△MON的面積達(dá)到最大時(shí),存在一種使得△MON周長最小的情況,則此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .
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(1)學(xué)習(xí)機(jī)和書包的單價(jià)各是多少元?
(2)該同學(xué)上街,恰好趕上該商品促銷,超市A所有商品打八折銷售,超市B全場(chǎng)購滿100元返購物券30元銷售,滿200元返購物券60元,依次類推,(不足100元不返券,購物券全場(chǎng)通用),但他只帶了390元錢,如果他只在一家超市購買他看中的這兩樣物品,你能說明他可以選擇哪家購買更省錢嗎?
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【題目】下列說法中正確的是( )
A. 有一組鄰邊相等的梯形是等腰梯形;
B. 一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊相等的四邊形是等腰梯形;
C. 有一組對(duì)角互補(bǔ)的梯形是等腰梯形;
D. 有兩組對(duì)角分別相等的四邊形是等腰梯形.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,邊長為2的正方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過B、C兩點(diǎn).
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)結(jié)合函數(shù)的圖象探索:當(dāng)y>0時(shí)x的取值范圍.
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【題目】為慶祝戰(zhàn)勝利70周年,我市某樓盤讓利于民,決定將原價(jià)為a元/米2的商品房價(jià)降價(jià)10%銷售,降價(jià)后的銷售價(jià)為( )
A.a-10% B.a10%
C.a(1-10%) D.a(1+10%)
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