Question

【題目】如圖，拋物線過(guò)，兩點(diǎn)．

備用圖

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且位于第一象限，當(dāng)的面積為3時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）過(guò)B作于C，連接OB，點(diǎn)G是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線表達(dá)式為：；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為，，（3）點(diǎn)G坐標(biāo)為，．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求拋物線表達(dá)式.

（2）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，當(dāng)1＜m＜4時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥y軸，交AB于點(diǎn)M，連接BP、AP，通過(guò)三角形的面積先求出PM的長(zhǎng)，然后利用m表示PM的長(zhǎng)，即可求出m，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)0＜m＜1時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PN∥x軸，交AB于點(diǎn)N，連接BP、AP，先通過(guò)三角形面積求出PN的長(zhǎng)，可用m表示N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，令P和N的縱坐標(biāo)相等即可求出m，從而求出P點(diǎn)的坐標(biāo).綜上即可得到答案.

（3）通過(guò)已知條件，得到∠BAO為45°，然后分點(diǎn)G在AB上方和下方兩種情況討論即可.

解：（1）把點(diǎn)A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx

得

解得

∴拋物線表達(dá)式為：y=-x2+4x；

（2）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，

當(dāng)1＜m＜4時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM∥y軸，交AB于點(diǎn)M，連接BP、AP，

由于A（4，0），B（1，3）

∴，

∴PM=2，

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

將A（4，0），B（1，3）代入y=kx+b，

，

解得，

∴直線AB的解析式為y=-x+4，

設(shè)，，

則PM=，

∴，

解得，m=2或m=3，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為或

當(dāng)0＜m＜1時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PN∥x軸，交AB于點(diǎn)N，連接BP、AP，

∴，

∴PN=2，

設(shè)，

則N點(diǎn)橫坐標(biāo)為m+2，∴，

由于PN兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，

∴，

解得，（舍去），

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為，

綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為，，.

（3）如下圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸，過(guò)點(diǎn)G作GE⊥y軸，交AE于點(diǎn)E，

易得∠BAC=45°，

若，

則∠OBC=∠GAE，

∴△BOC∽△AGE，即AE=3GE，

設(shè)，則

解得，n=3或n=4（舍去）

∴G，

如下圖，連接AG交BC于點(diǎn)F，

若，

則∠OBC=∠GAO，

易得，△OBC≌△FAC，

∴F（1,1）

可得直線AF的解析式為

聯(lián)立解析式

解得，x=4（舍去）或x= ，

∴G，

綜上所述，G，G.