Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．動點M以每秒1個單位長的速度，從點A沿線段AB向點B運動；同時點P以相同的速度，從點C沿折線C-D-A向點A運動．當點M到達點B時，兩點同時停止運動．過點M作直線l∥AD，與線段CD的交點為E，與折線A-C-B的交點為Q．點M運動的時間為t（秒）．

（1）當時，求線段的長；
（2）當0＜t＜2時，如果以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形，求t的值；
（3）當t＞2時，連接PQ交線段AC于點R．請?zhí)骄?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823024715099547.png" style="vertical-align:middle;" />是否為定值，若是，試求這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）  （2）或  （3）

試題分析：     
（1）依題意知，直角梯形ABCD中，CD∥AB。當t＜2時可證明△ECQ∽△MAQ。
當t=0.5時，AM=DE=0.5，則CE="2-0.5=1.5" 則因為EC：AM=EQ：QM。所以1.5:0.5=EQ：QM。所以EQ=3QM。因為EM=AD=4
所以QM=1
（2）依題意知△CPQ為直角三角形，且0＜t＜2時。故有兩種情況：
①當∠CPQ=90°時，點P與點E重合，
此時DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，

②當∠PQC=90°時，如備用圖1，此時Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴
③當2＜t≤6時，可得CD=DP=2時，∠DCP=45°，可以使得以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形，此時t=4（舍去），綜上所述，t=1或t=
（3）
點評：本題難度較大。此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及直角三角形的判定等知識，題目綜合性較強，分類討論時要考慮全面，根據(jù)t的取值范圍進行討論是解決問題的關(guān)鍵．