Question

已知三角形的三條邊的長是三個連續(xù)的正整數，試討論最小邊長分別取什么值時，這個三角形是直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形？

Answer 1

設三個連續(xù)的正整數n，n+1，n+2為三角形的三邊，當且僅當n+2＜n+n+1，即n＞1，∴n≥2．
（1）．若所構成的三角形是直角三角形，當且僅當n²+（n+1）²=（n+2）²，即n²-2n-3=0，（n+1）（n-3）=0，∴n=3．…（5分）
（2）．若所構成的三角形是鈍角三角形，當且僅當n²+（n+1）²＜（n+2）²，即n²-2n-3＜0，（n+1）（n-3）＜0，∴n＜3，又n≥2，∴n=2．…（10分）
（3）．若所構成的三角形是銳角三角形，當且僅當n²+（n+1）²＞（n+2）²，即n²-2n-3＞0，（n+1）（n-3）＞0，∴n＞3，又n≥4，∴n=4．…（15分）
綜上所述，當n=2時三邊為2、3、4，構成鈍角三角形；當n=3時三邊為3、4、5，構成直角三角形；當n=4時三邊為4、5、6，構成銳角三角形．…（20分）