Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D為邊AB的中點．點P從點A出發(fā)，沿AC方向以每秒1個單位長度的速度向終點C運動，同時點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度先沿CB方向運動到點B，再沿BA方向向終點A運動，以DP、DQ為鄰邊構(gòu)造PEQD，設(shè)點P運動的時間為t秒．

（1）設(shè)點Q到邊AC的距離為h，直接用含t的代數(shù)式表示h；

（2）當(dāng)點E落在AC邊上時，求t的值；

（3）當(dāng)點Q在邊AB上時，設(shè)PEQD的面積為S（S＞0），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）連接CD，直接寫出CD將PEQD分成的兩部分圖形面積相等時t的值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)0＜t≤時，h＝2t，當(dāng)＜t≤4時，h＝；（2）；（3）當(dāng)0≤t＜時，；當(dāng)＜t≤4時，；（4）t的值為或．

【解析】

（1）分點Q在線段BC，線段AB上兩種情形分別求解即可．

（2）利用平行線等分線段定理解決問題即可．

（3）分點Q在線段BD，在線段AD上兩種情形分別求解即可．

（4）當(dāng)點E落在直線CD上時，CD將PEQD分成的兩部分圖形面積相等．有兩種情形：①當(dāng)點E在CD上，且點Q在CB上時 （如圖3所示），②當(dāng)點E在CD上，且點Q在AB上時（如圖4所示），分別求解即可解決問題．

解：（1）當(dāng)0＜t≤時，h＝2t．

當(dāng)＜t≤4時，h＝3﹣（2t﹣3）＝．

（2）當(dāng)點E落在AC邊上時，DQ∥AC，

∵AD＝DB，

∴CQ＝QB，

∴2t＝，

∴t＝．

（3）①如圖1中，當(dāng)0≤t＜時，作PH⊥AB于H，則PH＝PAsinA＝﹣2t，

∴S＝．

②如圖2中，當(dāng)＜t≤4時，同法可得．

（4）當(dāng)點E落在直線CD上時，CD將PEQD分成的兩部分圖形面積相等．有兩種情形：

①當(dāng)點E在CD上，且點Q在CB上時 （如圖3所示），

過點E作EG⊥CA于點G，過點D作DH⊥CB于點H，

易證Rt△PGE≌Rt△DHQ，

∴PG＝DH＝2，

∴CG＝2﹣t，GE＝HQ＝CQ﹣CH＝2t﹣，

∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠DAC

∴在Rt△CEG中，tan∠ECG＝，

∴t＝．

②當(dāng)點E在CD上，且點Q在AB上時（如圖4所示），過點E作EF⊥CA于點F，

∵CD＝AD，∴∠CAD＝∠ACD．

∵PE∥AD，∴∠CPE＝∠CAD＝∠ACD，∴PE＝CE，

∴PF＝PC＝，PE＝DQ＝﹣2t，

∴在Rt△PEF中，cos∠EPF＝，

∴t＝綜上所述，滿足要求的t的值為或．