【題目】如圖,在ABC中,C=90°,ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)EBE的垂線交AB于點(diǎn)F,OBEF的外接圓.

1)求證:ACO的切線;

2)過點(diǎn)EEHAB,垂足為H,求證:CD=HF;

3)若CD=1,EH=3,求BFAF長(zhǎng).

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)

【解析】試題分析:(1)連接OE,由于BE是角平分線,則有∠CBE=∠OBE;而OB=OE,就有∠OBE=∠OEB,等量代換有∠OEB=∠CBE,那么利用內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行,可得OE∥BC;又∠C=90°,所以∠AEO=90°,即AC是⊙O的切線;(2)連結(jié)DE,先根據(jù)AAS證明△CDE≌△HFE,再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出CD=HF;(3)由(2)中CD=HF即可求出HF的值,先求OA和OF的長(zhǎng)度,再由AF=OA-OF求出AF的值;

試題解析:

1)連接OE,由于BE是角平分線,則有∠CBE=OBE;而OB=OE,就有∠OBE=OEB,等量代換有∠OEB=CBE,那么利用內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行,可得OEBC;又∠C=90°,所以∠AEO=90°,即AC是⊙O的切線;

2)連結(jié)DE,先根據(jù)AAS證明△CDE≌△HFE,再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出CD=HF

證明:(1)如圖,連接OE

BE平分∠ABC

∴∠CBE=OBE,

OB=OE,

∴∠OBE=OEB,

∴∠OEB=CBE,

OEBC,

∴∠AEO=C=90°,

AC是⊙O的切線;

2)如圖,連結(jié)DE

∵∠CBE=OBE,ECBCCEHABH,

EC=EH

∵∠CDE+BDE=180°,∠HFE+BDE=180°,

∴∠CDE=HFE

CDE與△HFE中,

,

∴△CDE≌△HFEAAS),

CD=HF

3)由(2)得,CD=HF.又CD=1

HF1

RtHFE中,EF=

EFBE

∴∠BEF=90°

∴∠EHF=BEF=90°

∵∠EFH=BFE

EHFBEF

,即

BF=10

, ,

RtOHE中, ,

RtEOA中, ,

.

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