Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為，點(diǎn)與圓心不重合，給出如下定義：若在上存在一點(diǎn)，使，則稱點(diǎn)為的特征點(diǎn)．

（1）當(dāng)的半徑為1時(shí)，如圖1．

①在點(diǎn)，，中，的特征點(diǎn)是__________．

②點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)為的特征點(diǎn)，求的取值范圍．

（2）如圖2，的圓心在軸上，半徑為2，點(diǎn)，．若線段上的所有點(diǎn)都是的特征點(diǎn)，直接寫(xiě)出圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，；②；（2）．

【解析】

（1）①根據(jù)⊙O的特征點(diǎn)的定義，如果0＜OP≤2r（r為⊙O的半徑），則點(diǎn)P是⊙O的特征點(diǎn)；
②分兩種情形考慮問(wèn)題：如圖1中，當(dāng)b＞0時(shí)，設(shè)直線y=-x+b與1為半徑的⊙O相切于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．解直角三角形求出OE即可，當(dāng)b＜0時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可得結(jié)論；
（2）如圖中，取點(diǎn)K（2，0），連接BK．由題意滿足條件點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離小于等于4且點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離小于等于4（點(diǎn)A除外），由此即可解決問(wèn)題；

（1）①由題意當(dāng)0＜OP≤2r（r為⊙O的半徑），則點(diǎn)P是⊙O的特征點(diǎn)，
∵，

=2，

，
∴，是特征點(diǎn)，
故答案為：，；

②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與以1為半徑的相切于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，

∴，，，

，

∴，

∵，

∴，

∴，

當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知：，

∴的取值范圍是；

（2）如圖中，取點(diǎn)K（2，0），連接BK，

∵點(diǎn)A、B、K的坐標(biāo)分別為(-2，0)，(0，2)，（2，0），

∴OA=2，OB=2，OK=2，

∴AB=，AK=AO+OK=4，

，

∴，

∴△ABK是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，
∵線段AB上的所有點(diǎn)都是⊙C的特征點(diǎn)，
∴點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離小于等于4且點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離小于等于4（點(diǎn)A除外），
∴點(diǎn)C在線段AK上（點(diǎn)A除外），
∴滿足條件的m的值為．