Question

如圖，小明將一張直角梯形紙片沿虛線剪開，得到矩形ABCD和三角形EGF兩張紙片，測得AB=5，AD=4，EF=5

5

．在進行如下操作時遇到了下面的幾個問題，請你幫助解決．
（1）請你求出FG的長度．
（2）在（1）的條件下，小明先將三角形的邊EG和矩形邊AB重合，然后將△EFG沿直線BC向右平移，至F點與B重合時停止．在平移過程中，設G點平移的距離為x，兩紙片重疊部分面積為．y，求在平移的整個過程中，y與x的函數關系式，并求當重疊部分面積為10時，平移距離x的值．
（3）在（2）的操作中，小明發(fā)現在平移過程中，雖然有時平移的距離不等，但兩紙片重疊的面積卻是相等的；而有時候平移的距離不等，兩紙片重疊部分的面積也 不可能相等．請?zhí)剿鬟@兩種情況下重疊部分面積y的范圍（直接寫出結果）．

Answer 1

分析：（1）在Rt△EFG中，根據勾股定理求出即可；
（2）有兩種情況：①當0≤x≤4時，根據平行線分線段成比例定理求出BM的值，根據梯形的面積公式求出即可；②當4≤x≤10時，求出BM、CN的值，根據梯形的面積公式求出即可；把y=10代入解析式求x即可；
（3）當4≤y＜16時，平移的距離不等，兩紙片重疊的面積可能相等，0≤y＜4或y=16時，平移的距離不等，兩紙片重疊部分的面積也不可能相等．

解答：（1）解：∵EG=AB=5，EF=5

5

，∠EGF=90°，在△EFG中，由勾股定理得：
FG=

EF2-EG2

=

(5 5 )2-52

=10，
答：FG的長度是10．

（2）解：有兩種情況：
①
如圖1：∵矩形ABCD，∠EGF=90°，EG=AB，
∴AB∥CD∥EG，
∴

BM

EG

=

FB

FG

，
即

BM

5

=

10-x

10

，
∴BM=5-

1

2

x，
∴y=

1

2

（BM+EG）×BG=

1

2

•（5-

1

2

x+5）•x，
∴y=-

1

4

x²+5x（0≤x≤4）；
②
如圖2：與求BM的方法類似，得出

CN

5

=

10-(x-4)

10

，
∴CN=7-

1

2

x，
∴y=

1

2

×（BM+CN）×BC=

1

2

•（5-

1

2

x+7-

1

2

x）•4，
y=-2x+24（4＜x≤10）；
綜合上述：y與x的關系式是y=

- 1 4 x2+5x(0≤x≤4) -2x+24(4＜x≤10)

，
把y=10代入y=-

1

4

x²+5x得：-

1

4

x²+5x=10，
解得：x₁=10+2

15

＞4（舍去），x₂=10-2

15

；
把y=10代入y=-2x+24得：-2x+24=10，
解得：x=7．

（3）解：當4≤y＜16時，平移的距離不等，兩紙片重疊的面積可能相等，0≤y＜4或y=16時，平移的距離不等，兩紙片重疊部分的面積也不可能相等．

點評：本題考查了梯形，平移的性質，勾股定理，平行線分線段成比例定理，矩形的性質等知識點的運用，能熟練地運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵，題目比較典型，綜合性比較強，有一定的難度，用了分類討論思想．注意：不要漏解啊．