Question

已知n為正整數，一次函數的圖象與坐標軸圍成的三角形外接圓面積為．求此一次函數的解析式．

Answer 1

解：設一次函數與x軸，y軸的交點分別為點A，點B，
令y=0，即+n+1=0，解得x=-n，
∴A（-n，0），則OA=n，
令x=0，即y=n+1，
∴B（0，n+1），則OB=n+1，
由題意可知三角形ABO為直角三角形，
所以三角形ABO的外接圓的直徑為直角三角形的斜邊，圓心為斜邊的中點，
所以，得|AB|=5，
在直角三角形ABO中，根據勾股定理得：
|AO|²+|BO|²=|AB|²，即n²+（n+1）²=25，
解得：n=3，
所以一次函數解析式為：．
分析：設一次函數與x軸，y軸的交點分別為點A與點B，令y=0和x=0，分別求出相應的x與y的值，得到點A與點B的坐標，進而得到OA與OB的長，由題意可知三角形OAB為直角三角形，故此三角形外接圓的圓心為直角三角形斜邊的中點，半徑為斜邊的一半，由外接圓的面積即可求出圓的半徑，進而得到線段AB的長，根據勾股定理列出關于n的方程，求出方程的解即可得到n的值，把n的值即可確定出一次函數的解析式．
點評：此題考查了直角三角形的性質，以及一次函數的綜合應用．找出三角形OAB的外心位置為斜邊的中點，根據三角形的面積求出半徑，進而求出斜邊是解本題的關鍵．三角形外接圓的圓心即為三角形三邊中垂線的交點，銳角三角形的外心在三角形內部；鈍角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心為斜邊的中點．