Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF是過(guò)點(diǎn)C的⊙O的切線，AD⊥EF于點(diǎn)D．
（1）求證：∠BAC=∠CAD；
（2）若∠B=30°，AB=12，求

AC

的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由EF為圓O的切線，根據(jù)切線性質(zhì)得到OC與EF垂直，又AD與EF垂直，得到AD與OC平行，根據(jù)兩直線平行得到內(nèi)錯(cuò)角∠OCA=∠CAD，由OA=OC，根據(jù)“等邊對(duì)等角”得到∠OCA=∠OAC，等量代換得證；
（2）由OA=OB，根據(jù)“等邊對(duì)等角”得到∠B=∠OCB=30°，又∠AOC為△BOC的外角，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠AOC的度數(shù)，即為弧AC所對(duì)的圓心角的度數(shù)，然后由直徑AB的長(zhǎng)，求出半徑的長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式即可求出

AC

的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OC，
∵EF是過(guò)點(diǎn)C的⊙O的切線．
∴OC⊥EF，又AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠BAC，
∴∠BAC=∠CAD；

（2）解：∵OB=OC，∴∠B=∠OCB=30°，
又∵∠AOC是△BOC的外角，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=60°，
∵AB=12，
∴半徑OA=

1

2

AB=6，
∴

AC

的長(zhǎng)l=

60π•6

180

=2π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及弧長(zhǎng)公式．遇到直線與圓相切，連接圓心與切點(diǎn)，是常常連接的輔助線，然后構(gòu)造直角三角形來(lái)解決問(wèn)題．要求學(xué)生掌握切線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式l=

nπr

180

（n為弧所對(duì)的圓心角度數(shù)，r表示圓的半徑）．