如圖,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點。
(1)求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點,求的值和這個一次函數(shù)的解析式;
(3)第(2)問中的一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于C、D,求過A、B、D三點的二次函數(shù)的解析式;
(4)在第(3)問的條件下,二次函數(shù)的圖象上是否存在點E,使的面積與的面積S滿足:?若存在,求點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。
解:(1)設(shè)正比例函數(shù)的解析式為,
因為的圖象過點,所以,解得.
這個正比例函數(shù)的解析式為.
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為.
因為的圖象過點,所以,解得.
這個反比例函數(shù)的解析式為.
(2)因為點在的圖象上,所以,則點.
設(shè)一次函數(shù)解析式為.
因為的圖象是由平移得到的,所以,即.
又因為的圖象過點,所以,解得,
一次函數(shù)的解析式為.
(3)因為的圖象交軸于點,所以的坐標(biāo)為.
設(shè)二次函數(shù)的解析式為.
因為的圖象過點、、和,
所以 解得
這個二次函數(shù)的解析式為.
(4)交軸于點,點的坐標(biāo)是,.
假設(shè)存在點,使.∴
在二次函數(shù)的圖象上,
∴或或
點的坐標(biāo)為.
【解析】(1)由點A的坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得兩個函數(shù)的解析式;
(2)先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求得點B的坐標(biāo),再由平移的特征設(shè)出一次函數(shù)解析式,最后把點B的坐標(biāo)代入即可;
(3)先求出點D的坐標(biāo),由A、B、D三點坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法即得二次函數(shù)解析式;
(4)先求出點C的坐標(biāo),從而得到的面積S,再根據(jù)求得點E的縱坐標(biāo),最后根據(jù)二次函數(shù)解析式求得點E的橫坐標(biāo)即可。
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