Question

18．在直角坐標系平面內(nèi)，A（0，4），B（-3，0）兩點，過原點的直線交AB于點P，且把三角形AOB分成1：4的兩部分，求該直線的表達式．

Answer 1

分析 先根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+4，然后根據(jù)A（0，4），B（-3，0）兩點計算出S_△OAB=6，設(shè)P點的縱坐標為t，由于△ABO被直線OP分成面積之比為1：4，則分類討論：當S_△POB=$\frac{1}{5}$S_△ABO=$\frac{6}{5}$時，$\frac{1}{2}$•3•t=$\frac{6}{5}$，解得t=$\frac{4}{5}$，利用y=$\frac{4}{3}$x+4得到P（-$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$），然后利用待定系數(shù)法求出直線PO的解析式；當S_△POB=$\frac{4}{5}$S_△ABO=$\frac{24}{5}$時，則$\frac{1}{2}$•OB•t=$\frac{24}{5}$，解得t=$\frac{16}{5}$，利用y=$\frac{4}{3}$x+4得P（-$\frac{3}{5}$，$\frac{16}{5}$），然后利用待定系數(shù)法求出直線PO的解析式．

解答 解：∵A（0，4），B（-3，0）兩點，
∴直線AB為y=$\frac{4}{3}$x+4，S_△OAB=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
設(shè)P點的縱坐標為t，
因為△ABO被直線OP分成面積之比為1：4，
當S_△POB=$\frac{1}{5}$S_△ABO=$\frac{6}{5}$時，
則$\frac{1}{2}$•OB•t=$\frac{6}{5}$，即$\frac{1}{2}$•3•t=$\frac{6}{5}$，解得t=$\frac{4}{5}$，
把y=$\frac{4}{5}$代入y=$\frac{4}{3}$x+4得$\frac{1}{3}$x+1=$\frac{1}{5}$，解得x=-$\frac{12}{5}$，則P（-$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$），
把P（-$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$）代入y=kx得$\frac{4}{5}$=-$\frac{12}{5}$k，解得k=-$\frac{1}{3}$，
所以直線PO的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x；
當S_△POB=$\frac{4}{5}$S_△ABO=$\frac{24}{5}$時，
則$\frac{1}{2}$•OB•t=$\frac{24}{5}$，即$\frac{1}{2}$•3•t=$\frac{24}{5}$，解得t=$\frac{16}{5}$，
把y=$\frac{16}{5}$代入y=$\frac{4}{3}$x+4得$\frac{1}{3}$x+1=$\frac{4}{5}$，解得x=-$\frac{3}{5}$，則P（-$\frac{3}{5}$，$\frac{16}{5}$），
把P（-$\frac{3}{5}$，$\frac{16}{5}$）代入y=kx得$\frac{16}{5}$=-$\frac{3}{5}$k，解得k=-$\frac{16}{3}$，
所以直線PC的解析式為y=-$\frac{16}{3}$x，
綜上所述，該直線的表達式為y=-$\frac{1}{3}$x或y=-$\frac{16}{3}$x．

點評 本題考查了兩條直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．