【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣(a+1)x﹣3與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,∠BCO=45°,點M為線段BC上異于B、C的一動點,過點M與y軸平行的直線交拋物線于點Q,點R為線段QM上一動點,RP⊥QM交直線BC于點P.設點M的橫坐標為m.

(1)求拋物線的表達式;
(2)當m=2時,△PQR為等腰直角三角形,求點P的坐標;
(3)①求PR+QR的最大值;②求△PQR面積的最大值.

【答案】
(1)

解:在y=ax2﹣(a+1)x﹣3中,令x=0可得y=﹣3,

∴C(0,﹣3),即OC=3,

∵∠BCO=45°,

∴OB=OC=3,

∴B(3,0),

把B點坐標代入拋物線解析式可得9a﹣3(a+1)﹣3=0,求得a=1,

∴拋物線的表達式為y=x2﹣2x﹣3


(2)

解:當m=2時,則M(2,0),

把x=2代入拋物線解析式可得y=﹣3,

∴Q(2,﹣3),

∵B(3,0),C(0,﹣3),

∴直線BC表達式為y=x﹣3,

∴可設P(p,p﹣3),則PR=2﹣p,QR=p﹣3﹣(﹣3)=p,

∵PR=QR,

∴2﹣p=p,解得p=1,

∴P(1,﹣2)


(3)

解:①由(2)可知M(m,m﹣3),Q(m,m2﹣2m﹣3),

∵PR⊥MQ,

∴∠MPR=45°,

∴MR=PR,

∴PR+QR=PR+MR=QM=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣ 2+ ,

∵﹣1<0,

∴當m= 時,PR+QR取最大值 ;

②∵PR+QR的最大值為

∴SPQR= PRQR≤ PR( ﹣PR)=﹣ (PR﹣ 2+ ,

<0,

∴當PR= 時,△PQR的面積取得最大值


【解析】(1)可先求得C點坐標,利用∠BCO=45°可求得B點坐標,代入拋物線解析式可求得a,可求得拋物線解析式;(2)可先求得Q的坐標,利用待定系數(shù)法可求得直線BC解析式,設出P點坐標,則可表示出PR、QR的長,由等腰三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于P點坐標的方程,可求得P點坐標;(3)①由題意可知PR=RM,故PR+QR=MQ,設出可用m表示出Q點坐標,則可表示出MQ的長,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值;②用PR表示出△PQR的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.

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