Question

如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D為OC的中點(diǎn)，直線(xiàn)AD交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E（2，6），且△ABE與△ABC的面積之比為3：2．
（1）求這條拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）連接BD，試判斷BD與AD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）連接BC交直線(xiàn)AD于點(diǎn)M，在直線(xiàn)AD上，是否存在這樣的點(diǎn)N（不與點(diǎn)M重合），使得以A、B、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△ABE與△ABC的面積之比為3：2，可得出OC與E點(diǎn)縱坐標(biāo)的比為3：2，因此C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）．然后可求出直線(xiàn)AD的解析式，進(jìn)而可求出A點(diǎn)坐標(biāo)．根據(jù)A，C，E三點(diǎn)坐標(biāo)即可求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）應(yīng)該是垂直關(guān)系．可根據(jù)（1）中得出的拋物線(xiàn)的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過(guò)證△ABD和△ADO相似即可得出∠ADB=90°，也可利用勾股定理來(lái)求證，答案不唯一；
（3）由于以A、B、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似，且M、N不重合，而這兩個(gè)三角形又有一個(gè)公共角，因此只有一種情況，即△ANB∽△ABM，可得出AN：AB=AB：AM，由此可求出AN的長(zhǎng)，即可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)．
（也可通過(guò)證△AEB∽△ABM，得出E，N重合，由此可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)）．

解答：解：（1）根據(jù)△ABE與△ABC的面積之比為3：2及E（2，6），可得C（0，4）．
∴D（0，2）．
由D（0，2）、E（2，6）可得直線(xiàn)AD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+2．
當(dāng)y=0時(shí)，2x+2=0，
解得x=-1．
∴A（-1，0）．
由A（-1，0）、C（0，4）、E（2，6）求得拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+3x+4．

（2）BD⊥AD．
求得B（4，0），通過(guò)相似或勾股定理逆定理證得∠BDA=90°，
即BD⊥AD．

（3）法1：求得M（

2

3

，

10

3

），AM=

5

3

5

．
由△ANB∽△ABM，得

AN

AB

=

AB

AM

，即AB²=AM•AN，
∴5²=

5

3

5

•AN，
解得AN=3

5

．
從而求得N（2，6）．
法2：由OB=OC=4及∠BOC=90°得∠ABC=45°．
由BD⊥AD及BD=DE=2

5

得∠AEB=45°．
∴△AEB∽△ABM，即點(diǎn)E符合條件，
∴N（2，6）．

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．