Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P為BC邊上一點（不與B，C重合），連接AP，過P點作PE交DC于E，使得∠APE=∠B．

（1）求證：△ABP∽△PCE；

（2）求AB的長；

（3）在邊BC上是否存在一點P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析。（2）4.（3）見解析。BP=1或BP=6

【解析】

（1）先利用平角的定義和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BAP=∠CPE，再判斷出四邊形ABCD是等腰梯形，進而得出∠B=∠C，即可得出結(jié)論；

（2）利用等腰梯形的性質(zhì)求出BF，進而求出AB，即可得出結(jié)論；

（3）先求出CD=4，進而求出CE，最后借助（1）的結(jié)論得出比例式建立方程求解，即可得出結(jié)論．

解：（1）在△ABP中，∠B+∠BAP+∠APB=180°

∵∠APE=∠B，

∴∠APE+∠BAP+∠APB=180°，

∵∠APB+∠APE+∠CPE=180°，

∴∠BAP=∠CPE，

∵AD∥BC，AD=3，BC=7，

∴四邊形ABCD是梯形，

∵AB=DC，

∴∠B=∠C，

∴△ABP∽△PCE；

（2）如圖，

過點A作AF⊥BC于F，

在梯形ABCD中，AB=CD，

∴BF=（BC-AD）=2，

在Rt△ABF中，∠B=60°，

∴∠BAF=30°，

∴AB=2BF=4；

（3）由（2）知，AB=4，

∵CD=AB，

∴CD=4，

∵DE：EC=5：3，

∴CE=CD=×4=，

∵BC=7，

∴CP=BC-BP=7-BP，

由（1）知，△ABP∽△PCE，

∴，∴=，

∴BP2-7BP+6=0，

∴BP=1或BP=6，

∵點P在BC上，

∴0＜BP＜7，

∴BP=1或BP=6．