Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6cm，D為邊AB中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P、Q在邊AB上同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，點(diǎn)P沿D→A以1cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q沿D→B→D以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)D停止．以PQ為邊在AB上方作等邊三角形PQN．將△PQN繞QN的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△MNQ．設(shè)四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S（cm2），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜3）．

（1）當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，求t的值．
（2）當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，求t的值．
（3）當(dāng)點(diǎn)Q沿D→B運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式．
（4）設(shè)四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，直接寫出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積比為2：3時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△PQN與△ABC都是等邊三角形，

∴當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合．

∴DQ=3

∴2t=3．

∴t=

（2）

解：∵當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，點(diǎn)N在邊AB的中線上，

∴PD=DQ，

當(dāng)0＜t＜ 時(shí)，

此時(shí)，PD=t，DQ=2t

∴t=2t

∴t=0（不合題意，舍去），

當(dāng) ≤t＜3時(shí)，

此時(shí)，PD=t，DQ=6﹣2t

∴t=6﹣2t，

解得t=2；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，t=2

（3）

解：由題意知：此時(shí)，PD=t，DQ=2t

當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，

∴MN=BQ

∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t

∴3t=3﹣2t

∴解得t=

如圖①，當(dāng) 時(shí)，

S△PNQ= PQ2= t2；

∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ= t2，

如圖②，當(dāng) 時(shí)，

設(shè)MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，

∵M(jìn)N=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，

∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，

∵△EMF是等邊三角形，

∴S△EMF= ME2= （5t﹣3）2

．

（4）

解：MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F，

此時(shí)， ＜t＜ ，

t=1或 ．

【解析】（1）由題意知：當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，此時(shí)DQ=3；（2）當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí)，點(diǎn)N在邊AB的中線上，此時(shí)PD=DQ；（3）當(dāng) 時(shí)，四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形PQMN；當(dāng) 時(shí)，四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形PQFEN．（4）MN、MQ與邊BC的有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí) ＜t＜ ，列出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積表達(dá)式后，即可求出t的值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的應(yīng)用，需要了解測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能得出正確答案．