Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P從A出發(fā)沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動；點Q從C出發(fā)沿CB向B點以2厘米/秒的 速度勻速移動．點P、Q分別從起點同時出發(fā)，移動到某一位置時所需時間為t秒．

（1）當t= 時，PQ∥AB

（2）當t為何值時，△PCQ的面積等于5cm2？

（3）在P、Q運動過程中，在某一時刻，若將△PQC翻折，得到△EPQ，如圖2，PE與AB能否垂直？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)2.4;(2)1;(3)見解析.

【解析】

（1）由PQ∥AB得出△PQC∽△ABC，從而得到比例式PC：AC=CQ：BC，建立關(guān)于t的方程，解方程求出t的值即可；

（2）由三角形面積公式可建立關(guān)于t的方程，解方程求出t的值即可；
（3）延長QE交AC于點D，若PE⊥AB，則QD∥AB，所以可得△CQD∽△CBA，由相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可求出DE=0.5t，易證△ABC∽△DPE，再由相似三角形的性質(zhì)可得,把已知數(shù)據(jù)代入即可求出t的值．

解：(1) ∵點P從A出發(fā)沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動；點Q從C出發(fā)沿CB向B點以2厘米/秒的速度勻速移動，

∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，

當PQ∥AB時，∴△PQC∽△ABC，
∴PC：AC=CQ：BC，
∴(6-t)：6=2t：8

∴t=2.4

∴當t=2.4時，PQ∥AB

（2）∵點P從A出發(fā)沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動；點Q從C出發(fā)沿CB向B點以2厘米/秒的速度勻速移動，

∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，
∴S△CPQ= CPCQ=＝5，

∴t2-6t+5=0
解得t1=1，t2=5（不合題意，舍去）
∴當t=1秒時，△PCQ的面積等于5cm2；
（3）能垂直，理由如下：
延長QE交AC于點D，

∵將△PQC翻折，得到△EPQ，
∴△QCP≌△QEP，
∴∠C=∠QEP=90°，
若PE⊥AB，則QD∥AB，
∴△CQD∽△CBA，
∴，
∴，

∴QD=2.5t，
∵QC=QE=2t
∴DE=0.5t
∵∠A=∠EDP，∠C=∠DEP=90°，

∴△ABC∽△DPE，
∴
∴，
解得：，
綜上可知：當t=時，PE⊥AB．