Question

（2013年廣東梅州11分）用如圖①，②所示的兩個直角三角形（部分邊長及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出），完成以下兩個探究問題：

探究一：將以上兩個三角形如圖③拼接（BC和ED重合），在BC邊上有一動點(diǎn)P．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到∠CFB的角平分線上時(shí)，連接AP，求線段AP的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中出現(xiàn)PA=FC時(shí)，求∠PAB的度數(shù)．
探究二：如圖④，將△DEF的頂點(diǎn)D放在△ABC的BC邊上的中點(diǎn)處，并以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△DEF，使△DEF的兩直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點(diǎn)，連接MN．在旋轉(zhuǎn)△DEF的過程中，△AMN的周長是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：探究一：
（1）依題意畫出圖形，如答圖1所示：

由題意，得∠CFB=60°，F(xiàn)P為角平分線，
則∠CFP=30°。
∴CF=BC•sin30°=3×=。
∴CP=CF•tan∠CFP=×=1。
過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，則AG=BC=，
∴PG=CG﹣CP=﹣1=。
在Rt△APG中，由勾股定理得：。
（2）由（1）可知，F(xiàn)C=．
如答圖2所示，以點(diǎn)A為圓心，以FC=長為半徑畫弧，與BC交于點(diǎn)P₁、P₂，則AP₁=AP₂=。

過點(diǎn)A過AG⊥BC于點(diǎn)G，則AG=BC=，
在Rt△AGP1中，，∴∠P₁AG=30°。
∴∠P₁AB=45°﹣30°=15°。
同理求得，∠P₂AG=30°，∠P₂AB=45°+30°=75°。
∴∠PAB的度數(shù)為15°或75°。
探究二：△AMN的周長存在有最小值。
如答圖3所示，連接AD，

圖3
∵△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，
∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°。
∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，∴∠MDA=∠NDC。
∵在△AMD與△CND中，，
∴△AMD≌△CND（ASA）�！郃M=CN。
設(shè)AM=x，則CN=x，，
在Rt△AMN中，由勾股定理得：
，
∴△AMN的周長為：AM+AN+MN=  。
當(dāng)x=時(shí)，有最小值，最小值為。
∴△AMN周長的最小值為。

探究一：（1）如答圖1所示，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，構(gòu)造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的長度。
（2）如答圖2所示，符合條件的點(diǎn)P有兩個．解直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求出角的度數(shù)。
探究二：如答圖3所示，證明△AMD≌△CND，得AM=CN，則△AMN兩直角邊長度之和為定值；設(shè)AM=x，求出斜邊MN的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出MN的最小值，從而得到△AMN周長的最小值。