【題目】如圖,現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD,AB=4,BC=8,點(diǎn)M,N分別在矩形的邊AD,BC上,將矩形紙片沿直線MN折疊,使點(diǎn)C落在矩形的邊AD上,記為點(diǎn)P,點(diǎn)D落在G處,連接PC,交MN丁點(diǎn)Q,連接CM.
(1)求證:PM=PN;
(2)當(dāng)P,A重合時(shí),求MN的值;
(3)若△PQM的面積為S,求S的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)2;(3)4≤S≤5
【解析】
(1)由平行線的性質(zhì)得到∠PMN=∠MNC,由折疊的性質(zhì)得到∠MNC=∠PNM,從而得到∠PMN=∠PNM即可解決問(wèn)題;
(2)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),設(shè)BN=x,表示出AN=NC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得x的值,進(jìn)而用勾股定理求得MN;
(3)當(dāng)MN過(guò)D點(diǎn)時(shí),求得四邊形CMPN的最小面積,進(jìn)而得S的最小值,當(dāng)P與A重合時(shí),S的值最大,求得最大值即可.
解(1)如圖1中,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴PM∥CN,
∴∠PMN=∠MNC,
由折疊可得∠MNC=∠PNM,
∴∠PMN=∠PNM,
∴PM=PN;
(2)解:點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),如圖2中,
設(shè)BN=x,則AN=NC=8﹣x,
在Rt△ABN中,AB2+BN2=AN2,
即42+x2=(8﹣x)2,
解得x=3,
∴CN=8﹣3=5,AC===4,
∴CQ=AC=2,
∴QN===,
∴MN=2QN=2;
(3)解:當(dāng)MN過(guò)點(diǎn)D時(shí),如圖3所示,此時(shí),CN最短,四邊形CMPN的面積最小,則S最小為S=S菱形CMPN=×4×4=4,
當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí),CN最長(zhǎng),四邊形CMPN的面積最大,則S最大為S=×5×4=5,
∴4≤S≤5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中⊙O,AB 是直徑,弦 AE 的垂直平分線交⊙O 于點(diǎn) C,CD⊥AB于 D,BD=1,AE=4,則 AD 的長(zhǎng)為___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,邊在射線上,且,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿OM的方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)D不與點(diǎn)A重合時(shí),將繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到,連接DE.
(1)如圖1,求證:是等邊三角形;
(2)如圖2,當(dāng)6<t<10時(shí),DE是否存在最小值?若存在,求出DE的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)D在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在以D,E,B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知有理數(shù)-3,1.
(1)在下列數(shù)軸上,標(biāo)出表示這兩個(gè)數(shù)的點(diǎn),并分別用A,B表示;
(2)若|m|=2,在數(shù)軸上表示數(shù)m的點(diǎn),介于點(diǎn)A,B之間,在A的右側(cè)且到點(diǎn)B距離為5的點(diǎn)表示為n.
①計(jì)算m+n-mn;
②解關(guān)于x的不等式mx+4<n,并把解集表示在下列數(shù)軸上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】濟(jì)寧某校為了解九年級(jí)學(xué)生藝術(shù)測(cè)試情況.以九年極(1)班學(xué)生的藝術(shù)測(cè)試成績(jī)?yōu)闃颖,?/span>、、、四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你結(jié)合圖中所給信息解答下列問(wèn)題:
(說(shuō)明:級(jí):90分~100分;級(jí):75分~89分;級(jí)60分~74分;級(jí):60分以下)
(1)此次抽樣共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)請(qǐng)求出樣本中級(jí)的學(xué)生人數(shù),井補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該校九年級(jí)有1000名學(xué)生,請(qǐng)你用此樣本估計(jì)藝術(shù)測(cè)試中分?jǐn)?shù)不低于75分的學(xué)生人數(shù),
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上,且BF=AB,連接FD,交BC于點(diǎn)E.
(1)說(shuō)明△DCE≌△FBE的理由;
(2)若EC=3,求AD的長(zhǎng).
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【題目】如圖1,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn),與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn),直線交拋物線W于另一點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求直線的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)作軸,交軸于點(diǎn),若平分,求拋物線W的解析式;
(3)若,將拋物線W向下平移個(gè)單位得到拋物線,如圖2,記拋物線的頂點(diǎn)為,與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為,與射線的交點(diǎn)為.問(wèn):在平移的過(guò)程中,是否恒為定值?若是,請(qǐng)求出的值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)定義如下:
當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為;當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)是 ;點(diǎn)的變換點(diǎn)為,連接,則 °;
(2)已知拋物線與軸交于點(diǎn),(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),頂點(diǎn)為.點(diǎn)在拋物線上,點(diǎn)的變換點(diǎn)為.若點(diǎn)恰好在拋物線的對(duì)稱軸上,且四邊形是菱形,求的值;
(3)若點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一點(diǎn),點(diǎn)的變換點(diǎn)為,連接,以為直徑作,的半徑為,請(qǐng)直接寫出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,0),(x2,0),且x1<x2,圖象上有一點(diǎn)M(x0,y0)在x軸下方,對(duì)于以下說(shuō)法:①b2﹣4ac>0②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解③x1<x0<x2④a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0其中正確的是( 。
A.①③④B.①②④C.①②③D.②③
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