Question

如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．

（4）如圖10，若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積.

 

 

Answer 1

略

解析:（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ………………1分

將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得       …………………………2分

解得：                                  …………………………3分

所以這個二次函數(shù)的表達(dá)式為：      ………………………3分

方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）         ……………………1分

設(shè)該表達(dá)式為：                  …………………………2分

將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：                        …………………………3分

所以這個二次函數(shù)的表達(dá)式為：      …………………………3分

（注：表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分）

（2）方法一：存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－3）          …………………………4分

理由：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為：

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0）                          …………………………4分

由A、C、E、F四點(diǎn)的坐標(biāo)得：AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形

∴存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，－3）                       …………………………5分

方法二：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為：

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0）                          …………………………4分

∵以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）  

代入拋物線的表達(dá)式檢驗，只有（2，－3）符合

∴存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，－3）                       …………………………5分

（3）如圖，①當(dāng)直線MN在x軸上方時，設(shè)圓的半徑為R（R>0），則N（R+1，R），

代入拋物線的表達(dá)式，解得  …………6分

②當(dāng)直線MN在x軸下方時，設(shè)圓的半徑為r（r>0），

則N（r+1，－r），

代入拋物線的表達(dá)式，解得   ………7分

∴圓的半徑為或．   ……………7分

（4）過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，

易得G（2，－3），直線AG為．……………8分

設(shè)P（x，），則Q（x，－x－1），PQ．

       …………………………9分

當(dāng)時，△APG的面積最大

此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為，．………………………10分