Question

【題目】如圖，在ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
（1）求證：△AEH≌△CGF；
（2）求證：四邊形EFGH是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠C．

∴在△AEH與△CGF中， ，

∴△AEH≌△CGF（SAS）

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D．

∵AE=CG，AH=CF，

∴EB=DG，HD=BF．

∴△BEF≌△DGH．

∴EF=HG．

又∵△AEH≌△CGF，

∴EH=GF．

∴四邊形HEFG為平行四邊形．

∴EH∥FG，

∴∠HEG=∠FGE．

∵EG平分∠HEF，

∴∠HEG=∠FEG，

∴∠FGE=∠FEG，

∴EF=GF，

∴四邊形EFGH是菱形

【解析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；（2）欲證明四邊形EFGH是菱形，只需推知四邊形EFGH是平行四邊形，然后證得該平行四邊形的鄰邊相等即可．
【考點精析】掌握平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定方法是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．