Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)邊AD到E，使得CE∥BD．
（1）試比較正方形ABCD與△ABE面積的大小，并說(shuō)明理由．
（2）如果條件“四邊形ABCD是正方形”改為“四邊形ABCD是梯形，AB∥CD”，其余條件都不變，那么梯形ABCD與△ABE面積的大小有什么關(guān)系？（只需寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）

Answer 1

解：（1）正方形ABCD與△ABE面積相等，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DE∥BC，又CE∥BD，
∴四邊形BCED為平行四邊形，
∴OB=OE，OD=OC，又∠DOE=∠COB，
∴△DOE≌△COB，
∴S_{正方形ABCD}=S_{四邊形ABOD}+S_△BOC=S_{四邊形ABOD}+S_△DOE=S_△ABE；

（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：

結(jié)論為：梯形ABCD與△ABE面積的相等．
分析：（1）由正方形的對(duì)邊平行，得到ED與BC平行，又CE與BD平行，根據(jù)兩對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形得到BCED為平行四邊形，由平行四邊形的對(duì)角線互相平分得到OD=OC，OB=OE，由對(duì)頂角相等，利用“SAS”得到三角形DOE與三角形BOC全等，根據(jù)正方形ABCD的面積等于四邊形ABOD的面積與三角形BOC的面積之和，等量代換得到正方形的面積等于四邊形ABOD的面積與三角形DOE的面積之和，即等于三角形ABE的面積；
（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示，由BD與CE平行，根據(jù)平行線間的距離處處相等得到三角形BCD與三角形BDE的BD邊上的高相等，根據(jù)同底等高的兩三角形面積相等得到三角形BCD與三角形BDE的面積相等，由梯形ABCD的面積等于三角形ABD的面積與三角形BDC面積之和，等量代換得到梯形的面積等于三角形ABD的面積與BDE的面積之和即等于三角形ABE的面積．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，是一道探究結(jié)論型的題．本題考查利用變化的觀點(diǎn)應(yīng)對(duì)新知識(shí)的探究能力，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能依靠簡(jiǎn)單的模仿與記憶，而是應(yīng)從變換中探究不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)，再?gòu)牟蛔兊臄?shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，尋求變化的規(guī)律，通過(guò)觀察、猜想、歸納、類比等數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，從而真正內(nèi)化知識(shí)，獲得方法的遷移，使能力得以形成．