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【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點,B點坐標為(3,0),與y軸交于點C(0,﹣3)

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P在拋物線位于第四象限的部分上運動,當四邊形ABPC的面積最大時,求點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積

(3)直線l經過A、C兩點,點Q在拋物線位于y軸左側的部分上運動,直線m經過點B和點Q,是否存在直線m,使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似?若存在,求出直線m的解析式,若不存在,請說明理由

【答案】(1);(2)P點坐標為()時,四邊形ABPC的面積最大,最大面積為;(3)存在,

【解析】

試題分析:(1)由B、C兩點的坐標,利用待定系數法可求得拋物線的解析式;

(2)連接BC,則△ABC的面積是不變的,過P作PM∥y軸,交BC于點M,設出P點坐標,可表示出PM的長,可知當PM取最大值時△PBC的面積最大,利用二次函數的性質可求得P點的坐標及四邊形ABPC的最大面積;

(3)設直線m與y軸交于點N,交直線l于點G,由于∠AGP=∠GNC+∠GCN,所以當△AGB和△NGC相似時,必有∠AGB=∠CGB=90°,則可證得△AOC≌△NOB,可求得ON的長,可求出N點坐標,利用B、N兩的點坐標可求得直線m的解析式.

試題解析:

(1)把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得,解得,∴拋物線解析式為;

(2)如圖1,連接BC,過Py軸的平行線,交BC于點M,交x軸于點H,

中,令y=0可得,解得x=﹣1或x=3,∴A點坐標為(﹣1,0),∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,∴S△ABC=ABOC=×4×3=6,∵B(3,0),C(0,﹣3),∴直線BC解析式為y=x﹣3,設P點坐標為(x,),則M點坐標為(x,x﹣3),∵P點在第四限,∴PM= =,∴S△PBC=PMOH+PMHB=PM(OH+HB)=PMOB=PM,∴當PM有最大值時,△PBC的面積最大,則四邊形ABPC的面積最大,∵PM==,∴當x=時,PMmax=,則S△PBC==,此時P點坐標為(,),S四邊形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=,即當P點坐標為(,)時,四邊形ABPC的面積最大,最大面積為

(3)如圖2,設直線m交y軸于點N,交直線l于點G,則∠AGP=∠GNC+∠GCN,當△AGB和△NGC相似時,必有∠AGB=∠CGB,又∠AGB+∠CGB=180°,∴∠AGB=∠CGB=90°,∴∠ACO=∠OBN,在Rt△AON和Rt△NOB中,∵∠AOC=NOB,OC=OB,ACO=NBO,∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA),∴ON=OA=1,∴N點坐標為(0,﹣1),設直線m解析式為y=kx+d,把B、N兩點坐標代入可得,解得,∴直線m解析式為,即存在滿足條件的直線m,其解析式為

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