Question

【題目】如圖，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象與直線y=x交于點(diǎn)M，∠AMB=90°，其兩邊分別與兩坐標(biāo)軸的正半軸交于點(diǎn)A，B，四邊形OAMB的面積為6．

（1）求k的值；

（2）點(diǎn)P在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，∠EPF=90°，其兩邊分別與x軸的正半軸，直線y=x交于點(diǎn)E，F(xiàn)，問是否存在點(diǎn)E，使得PE=PF？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）E（4，0）或E（6，0）．

【解析】

試題分析：（1）過點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，MD⊥y軸于點(diǎn)D，根據(jù)AAS證明△AMC≌△BMD，那么S四邊形OCMD=S四邊形OAMB=6，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得出k=6；

（2）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）．再分兩種情況進(jìn)行討論：①如圖2，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥PG于點(diǎn)H，交y軸于點(diǎn)K．根據(jù)AAS證明△PGE≌△FHP，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)；②如圖3，同理求出E點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）如圖1，過點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，MD⊥y軸于點(diǎn)D，則∠MCA=∠MDB=90°，∠AMC=∠BMD，MC=MD，∴△AMC≌△BMD，∴S四邊形OCMD=S四邊形OAMB=6，∴k=6；

（2）存在點(diǎn)E，使得PE=PF．

由題意，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）．

①如圖2，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥PG于點(diǎn)H，交y軸于點(diǎn)K．

∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG=FH=2，F(xiàn)K=OK=3﹣2=1，GE=HP=2﹣1=1，∴OE=OG+GE=3+1=4，∴E（4，0）；

②如圖3，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥PG于點(diǎn)H，交y軸于點(diǎn)K．

∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG=FH=2，F(xiàn)K=OK=3+2=5，GE=HP=5﹣2=3，∴OE=OG+GE=3+3=6，∴E（6，0）．

綜上所述，E（4，0）或E（6，0）．