Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0）．繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的直線l：y＝kx+b1交拋物線于另一點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在第二象限且滿足CD＝5AC時(shí)，求直線l的解析式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E為直線l下方拋物線上的一點(diǎn)，直接寫出△ACE面積的最大值；

（4）如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，其縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)直線l與y軸的交點(diǎn)C位于y軸負(fù)半軸時(shí)，是否存在以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣；（2）y＝﹣x+1；（3）當(dāng)x＝﹣2時(shí)，最大值為；（4）存在，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣3或或﹣．

【解析】

（1）設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，即可求解；

（2）OC∥DF，則 即可求解；

（3）由S△ACE=S△AME﹣S△CME即可求解；

（4）分當(dāng)AP為平行四邊形的一條邊、對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．

（1）設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，

即： 解得：

故函數(shù)的表達(dá)式為： ①；

（2）過點(diǎn)D作DF⊥x軸交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線AD于點(diǎn)M，

∵OC∥DF，∴OF＝5OA＝5，

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣5，6），

將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝mx+n得：，解得：

即直線AD的表達(dá)式為：y＝﹣x+1，

（3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為 則點(diǎn)M坐標(biāo)為

則

∵故S△ACE有最大值，

當(dāng)x＝﹣2時(shí)，最大值為；

（4）存在，理由：

①當(dāng)AP為平行四邊形的一條邊時(shí)，如下圖，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為

將點(diǎn)A向左平移2個(gè)單位、向上平移4個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)P的位置，

同樣把點(diǎn)D左平移2個(gè)單位、向上平移4個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)Q的位置，

則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入①式并解得：

②當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如下圖，

設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），

AP中點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），該點(diǎn)也是DQ的中點(diǎn)，

則： 即：

將點(diǎn)D坐標(biāo)代入①式并解得：

故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為：或或．