Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于點(diǎn)O，OE⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作半圓，交AO于點(diǎn)F．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，OE＝3，求圖中陰影部分的面積；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取最小值時(shí)，直接寫出BP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）當(dāng)PE+PF取最小值時(shí)，BP的長(zhǎng)為．

【解析】

（1）作OH⊥AC于H，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得AO平分∠BAC，再根據(jù)角平分線性質(zhì)得OH=OE，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

（2）先確定∠OAE=30°，∠AOE=60°，再計(jì)算出AE=3，然后根據(jù)扇形面積公式，利用圖中陰影部分的面積=S△AOE-S扇形EOF進(jìn)行計(jì)算；

（3）作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接EF′交BC于P，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)EP+FP最小，通過(guò)證明∠F′=∠EAF′得到PE+PF最小值為3，然后計(jì)算出OP和OB得到此時(shí)PB的長(zhǎng)．

（1）證明：作OH⊥AC于H，如圖，

∵AB＝AC，AO⊥BC于點(diǎn)O，

∴AO平分∠BAC，

∵OE⊥AB，OH⊥AC，

∴OH＝OE，

∴AC是⊙O的切線；

（2）∵點(diǎn)F是AO的中點(diǎn)，

∴AO＝2OF＝6，

而OE＝3，

∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，

∴AE＝OE＝3，

∴圖中陰影部分的面積＝S△AOE﹣S扇形EOF＝×3×3﹣；

（3）作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接EF′交BC于P，如圖，

∵PF＝PF′，

∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此時(shí)EP+FP最小，

∵OF′＝OF＝OE，

∴∠F′＝∠OEF′，

而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°，

∴∠F′＝30°，

∴∠F′＝∠EAF′，

∴EF′＝EA＝3，

即PE+PF最小值為3，

在Rt△OPF′中，OP＝OF′＝，

在Rt△ABO中，OB＝OA＝×6＝2，

∴BP＝2﹣＝，

即當(dāng)PE+PF取最小值時(shí)，BP的長(zhǎng)為．