Question

如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，問：在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形和以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似？若不存在，請說明理由；若存在，這樣的點(diǎn)P共有幾個？并請你求出AP的長．

Answer 1

分析：根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，當(dāng)若點(diǎn)A，P，D分別與點(diǎn)B，C，P對應(yīng)，與若點(diǎn)A，P，D分別與點(diǎn)B，P，C對應(yīng)，分別分析得出AP的長度即可．

解答：解：若點(diǎn)A，P，D分別與點(diǎn)B，C，P對應(yīng)，即△APD∽△BCP，
∴

AD

BP

=

AP

BC

，
∴

2

7-AP

=

AP

3

，
∴AP²-7AP+6=0，
∴AP=1或AP=6，
檢測：當(dāng)AP=1時，由BC=3，AD=2，BP=6，
∴

AP

BC

=

AD

BP

，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．
當(dāng)AP=6時，由BC=3，AD=2，BP=1，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．
若點(diǎn)A，P，D分別與點(diǎn)B，P，C對應(yīng)，即△APD∽△BPC．
∴

AP

BP

=

AD

BC

，
∴

AP

7-AP

=

2

3

，
∴AP=

14

5

．
檢驗(yàn)：當(dāng)AP=

14

5

時，∵BP=

21

5

，AD=2，BC=3，
∴

AP

BP

=

AD

BC

，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BPC．
因此，點(diǎn)P的位置有三處，即在線段AP的長為1、

14

5

、6處．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)P點(diǎn)不同位置進(jìn)行分析，解題時要注意一題多解的情況，要注意別漏解是解題關(guān)鍵．