Question

若m、n都是正實數(shù)，方程x²+mx+2n=0和方程x²+2nx+m=0都有實數(shù)根，則m+n的最小值是（　　）

• A、4
• B、6
• C、8
• D、10

Answer 1

分析：由方程x²+mx+2n=0和方程x²+2nx+m=0都有實數(shù)根，則有m²-8n≥0，即m²≥8n；4n²-4m≥0，即n²≥m．通過不等式變形得：m⁴≥64n²≥64m，得m最小值是4；則n²≥m，得n≥2即n的最小值為2，由此得到m+n的最小值．

解答：解：∵方程都有實根，
∴

m2-8n≥0 4n2-4m≥0

，
∴m²≥8n，n²≥m．
∵m、n都是正實數(shù)，
因此有m⁴≥64n²≥64m，
∴m（m³-64）≥0，因m＞0，則m³≥64，m≥4，所以m最小值是4；
又n²≥m，n²≥4得n≥2，即n的最小值為2，
故m+n的最小值為6．
故選B．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b2-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了式子的變形能力和不等式的解法．