Question

已知拋物線y=-ax²+2ax+b與x軸的一個交點為A（-1，0），與y軸的正半軸交于點C．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）當點C在以AB為直徑的⊙P上時，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對稱軸公式，對稱軸x=-=1，根據拋物線的對稱性，A（-1，0）、B兩點關于對稱軸的對稱，可推出B點坐標；
（2）當點C在以AB為直徑的⊙P上時，△ABC為直角三角形，已知OA=1，OB=3，由△AOC∽△COB，利用相似比可求OC，即C點坐標，設拋物線解析式的交點式，將C點坐標代入即可．
解答：解：（1）根據拋物線的對稱軸公式及拋物線的對稱性可知，
對稱軸為直線x=1，B（3，0）；

（2）連接BC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
又CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴=，即=
解得CO=，即C（0，）
設過A（-1，0），B（3，0）兩點的拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3）
將C（0，）代入得-3a=，a=-
∴y=-（x+1）（x-3），
即y=-x²+x+．
點評：本題考查了拋物線對稱軸公式，拋物線對稱性的運用，待定系數法求拋物線解析式的方法．綜合運用了圓的對稱性，直角三角形中的相似三角形的問題．