Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CE AB于E， CD平分ECB， 交過(guò)點(diǎn)B的射線于D， 交AB于F， 且BC=BD．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）若AE=9， CE=12， 求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）10．

【解析】

試題分析：（1）要證明BD是⊙O的切線，由已知條件轉(zhuǎn)化為證明∠DBA=90°即可；

（2）連接AC，利用三角形相似求出BE的值，由勾股定理求出BC的值，由已知條件再證明△EFC∽△BFD，相似三角形的性質(zhì)利用：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可求出BF的長(zhǎng)．

試題解析：（1）證明：∵CE⊥AB，

∴∠CEB=90°．

∵CD平分∠ECB，BC=BD，

∴∠1=∠2，∠2=∠D．

∴∠1=∠D，

∴CE∥BD，

∴∠DBA=∠CEB=90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴BD是⊙O的切線；

（2）解：連接AC，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ACB=90°．

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=∠BEC=90°，

∵∠A+∠ABC=90°，∠A+∠ACE=90°，

∴∠ACE=∠ABC，

∴△ACE∽△CBE，

∴，即CE2=AEEB，

∵AE=9，CE=12，

∴EB=16，

在Rt△CEB中，∠CEB=90，由勾股定理得 BC=20，

∴BD=BC=20，

∵∠1=∠D，∠EFC=∠BFD，

∴△EFC∽△BFD，

∴，

即

∴BF=10．