【題目】如圖,直線y=﹣ x+4交x軸于點A,交y軸于點C,拋物線y=ax2 x+c過點A,交y軸于點B(0,﹣2)

(1)求拋物線的解析式;
(2)點M為拋物線在第四象限部分上的一個動點,求四邊形BMAC面積的最大值;
(3)點D為拋物線對稱軸上一點,規(guī)定:d=|AD﹣BD|,探究d是否存在最大值?若存在,請直接寫出d的最大值及此時點D的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵直線y=﹣ x+4交x軸于點A,交y軸于點C,

∴點A坐標(biāo)為(3,0)、點C坐標(biāo)為(0,4),

∵拋物線y=ax2 x+c過點A,交y軸于點B(0,﹣2).

,解得:

∴拋物線解析式為y= x2 x﹣2;


(2)

解:如圖1所示,過點M作x軸的垂線,交直線y=﹣ x+4于點N.

設(shè)點M(x, x2 x﹣2),則點N的坐標(biāo)為(x,﹣ x+4).

∵M(jìn)N∥BC,

∴MN和BC間的距離為x,MN=(﹣ x+4)﹣( x2 x﹣2)=6﹣ x2,點A到MN的距離d=3﹣x,則四邊形BMNC的面積S1= (BC+MN)x=6x﹣ x3,

△ANM的面積S2= MN(3﹣x)= x3﹣x2﹣3x+9,

∴四邊形BMAC的面積S=S1+S2=6x﹣ x3+ x3﹣x2﹣3x+9=﹣x2+3x+9=﹣(x﹣ 2+ ,

∵0<x<3,

∴當(dāng)x= 時,四邊形BMAC面積的最大值為


(3)

解:如圖2所示:記拋物線與x軸的另一個交點為E.

∵拋物線的對稱為x=﹣ =1,A(3,0),

∴E(﹣1,0).

∴OE=1,EF=2.

∵點E與點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,

∴ED=AD.

∴d=|AD﹣BD|=|ED﹣BD|.

∵當(dāng)點E、B、D不在同一條直線上時,d=|ED﹣BD|<BE,當(dāng)點E、B、D在同一條直線上時,d=|ED﹣BD|=BE,

∴d的最大值=BE= =

∵OB∥DF,

∴△EOB∽△EFD.

= ,即 = ,解得:DF=4.

∴D(1,﹣4).


【解析】(1)根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點得出點A、C坐標(biāo),再根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線解析式;(2)設(shè)點M(x, x2 x﹣2),過點M作x軸的垂線,交直線y=﹣ x+4于點N,先求出四邊形BMNC的面積S1= (BC+MN)x=6x﹣ x3 , △ANM的面積S2= MN(3﹣x)= x3﹣x2﹣3x+9,根據(jù)四邊形BMAC的面積S=S1+S2得到四邊形的面積與x的函數(shù)關(guān)系式,然后利用配方法求解即可;(3)記拋物線與x軸的另一個交點為E,拋物線的對稱軸與x軸的交點為F,當(dāng)點E、B、D在同一條直線上時,d有最大值,然后證明△EOB∽△EFD,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得DF的長,從而可得到點D的坐標(biāo).
【考點精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習(xí)冊系列答案
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【題目】為了測量出大樓AB的高度,從距離樓底B處50米的點C(點C與樓底B在同一水平面上)出發(fā),沿傾斜角為30°的斜坡CD前進(jìn)20米到達(dá)點D,在點D處測得樓頂A的仰角為64°,求大樓AB的高度(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù):sin64°≈0.9,cos64°≈0.4,tan64°≈2.1, ≈1.7)

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【題目】(1)分別求出代數(shù)式a2﹣2ab+b2和(a﹣b)2的值.

其中a=,b=3;②a=5,b=3;③a=﹣1,b=2.

(2)觀察(1)中的①②③你發(fā)現(xiàn)這兩個多項式有什么關(guān)系,直接寫出.

(3)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,求出1.4372﹣2×1.437×0.437+0.4372的值.

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【題目】下列計算:

(1)78-23÷70=70÷70=1;

(2)12-7×(-4)+8÷(-2)=12+28-4=36;

(3)12÷(2×3)=12÷2×3=6×3=18;

(4)32×3.14+3×(-9.42)=3×9.42+3×(-9.42)=0.

其中錯誤的有(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【題目】將一個正方體的表面全涂上顏色.

(1)如果把正方體的棱2等分,然后沿等分線把正方體切開,能夠得到8個小正方體,設(shè)其中3面被涂上顏色的有a個,則a=   ;

(2)如果把正方體的棱三等分,然后沿等分線把正方體切開,能夠得到27個小正方體.設(shè)這些小正方體中有3個面涂有顏色的有a個,各個面都沒有涂色的有b個,則a+b=   ;

(3)如果把正方體的棱4等分,然后沿等分線把正方體切開,能夠得到64個小正方體.設(shè)這些小正方體中有2個面涂有顏色的有c個,各個面都沒有涂色的有b個,則c+b=   ;

(4)如果把正方體的棱n等分,然后沿等分線把正方體切開,能夠得到   個小正方體.設(shè)這些小正方體中有2個面涂有顏色的有c個,各個面都沒有涂色的有b個,則c+b=   

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【題目】定義:如圖1,點M,N把線段AB分割成AM,MNBN,若以AM,MNBN為邊的三角形是一個直角三角形,則稱點M,N是線段AB的勾股分割點.

請解決下列問題:

(1)已知點M,N是線段AB的勾股分割點,且BN>MN>AM.若AM=2,MN=3,求BN的長;

(2)如圖2,若點F、M、N、G分別是AB、AD、AEAC邊上的中點,點DE是線段BC的勾股分割點,且EC>DE>BD,求證:點MN是線段FG的勾股分割點.

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(1)求證:∠DAODOA

(2)①若b=-8,求CE的長;

②若CE+1,則b=________;

(3)是否存在這樣的b值,使得四邊形OBED為平行四邊形?若存在,請求出此時四邊形OBED對角線的交點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(2)設(shè)工廠的月效益為z(萬元),寫出z與用電量x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)求工廠最大月效益.

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【題目】如圖,PB切⊙O于點B,聯(lián)結(jié)PO并延長交⊙O于點E,過點B作BA⊥PE交⊙O于點A,聯(lián)結(jié)AP,AE.

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