Question

【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連結(jié)AP、OP、OA．若CP=4，求邊AB的長；

（2）若圖1中的點P恰好是CD邊的中點，連接BP，求證△ABP是等邊三角形；

（3）如圖2，在（1）的條件下，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當(dāng)點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度．

Answer 1

【答案】（1）邊AB的長為10．（2）證明見解析;（3）不變，長度為.

【解析】（1）①由四邊形ABCD是矩形可得∠C=∠D=90°，根據(jù)互余可得∠APD=∠POC，所以△OCP∽△PDA，②根據(jù)△OCP∽△PDA可求出CP=4，BC=8，設(shè)OP=x，在Rt△PCO中，由勾股定理可得x=5，從而AB=AP=2OP=10；（2）連接BP，證△ADP≌△BCP，由折疊可證得△ABP是等邊三角形 ；（ 3）作MQ∥AN，交PB于點Q，可證得△MFQ≌△NFB，所以QF=BF，然后可得EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，而PB==4，所以EF=PB=2．

解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，DC=AB，∠C=∠D=90°．

由折疊可得：AP=AB．設(shè)OP=x，則：OB=x，CO=8﹣x．

在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．

解之得：x=5．

設(shè)AB=CD=y=AP，則DP=y﹣4．

在Rt△PAD中，∵∠D=90°，AP=y，DP=y﹣4，AD=8，∴y2=（y﹣4）2+82．

解之得：y=10．∴邊AB的長為10．

（2）如圖1，連接BP

∵P是CD邊的中點，∴DP=PC,易證△ADP≌△BCP,∴AP=BP

由折疊可知AP=AB, ∴AP=BP=AB, ∴△ABP是等邊三角形

（3）過點M作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖2．

∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．

∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．

∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．

在△MFQ和△NFB中，

∠QMF=∠BNF，∠QFN=∠BFN，BN=QM，

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=BF．∴QF=QB．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．

由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．

∴在（1）的條件下，當(dāng)點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，長度為2 .

“點睛”此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是做出輔助線，找出全等和相似的三角形．