Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，tanD＝2，點(diǎn)E是射線(xiàn)CD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，將△BCE沿著BE進(jìn)行翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)F．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F落在梯形ABCD的中位線(xiàn)MN上時(shí)，求CE的長(zhǎng).

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段CD上時(shí)，設(shè)CE＝x，，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域.

(3)如圖3，聯(lián)結(jié)AC，線(xiàn)段BF與射線(xiàn)CA交于點(diǎn)G，當(dāng)△CBG是等腰三角形時(shí)，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)；(2)(0＜x≤10)；(3)CE的長(zhǎng)為或 或．

【解析】

(1)把BE與MN的交點(diǎn)記為點(diǎn)O，根據(jù)折疊的性質(zhì)以及梯形中位線(xiàn)定理，可判定△EFO是等邊三角形，即可得出∠FEB＝60°，即∠CEB＝60°，進(jìn)一步在Rt△ECB中，利用60°角的三角函數(shù)即可求出EC的長(zhǎng)；

(2)把BE與CF的交點(diǎn)記為點(diǎn)P，根據(jù)BE是CF的垂直平分線(xiàn)，可得，易證△ECP∽△CBP，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)△CBG是等腰三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①GB＝GC；②CB＝CG；③BC＝BG，分別根據(jù)折疊的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，求得CE的長(zhǎng)．

解：(1)把BE與MN的交點(diǎn)記為點(diǎn)O，如圖1，

∵梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠C＝90°，

由翻折得∠CEB＝∠FEB，∠EFB＝∠C＝90°，

∵MN是梯形ABCD的中位線(xiàn)，∴MN∥AB∥CD，

∴∠CEB＝∠FOE，，

∴∠FEB＝∠FOE，∴FE＝FO，

∵∠EFB＝90°，EO＝BO，∴FO＝EO，

∴FE＝FO＝EO，∴△EFO是等邊三角形，

∴∠FEB＝60°，∴∠CEB＝60°，

∴在Rt△ECB中，；

(2)把BE與CF的交點(diǎn)記為點(diǎn)P，如圖2，

由翻折得，BE是CF的垂直平分線(xiàn)，

即∠EPC＝∠BPC＝90°，，

∴S△EFC＝2S△EPC，S△BFC＝2S△BPC，

∴，

∵∠ECP+∠BCP＝90°，∠CBP+∠BCP＝90°，∴∠ECP＝∠CBP，

又∵∠EPC＝∠BPC＝90°，∴△ECP∽△CBP，

∴

∴(0＜x≤10)；

(3)當(dāng)△CBG是等腰三角形時(shí)，存在三種情況：

①當(dāng)GB＝GC時(shí)，延長(zhǎng)BF交CD于點(diǎn)H，如圖3，

∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，∴AC＝10，

∵GB＝GC，∴∠GBC＝∠GCB，

∵∠HCB＝90°，∴∠CHB+∠GBC＝90°，

∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠GCB＝90°，

∴∠CHB＝∠CAB，∴，

∵∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠CAB＝90°，∠ABG+∠GBC＝90°，

∴∠CAB＝∠GBA，∴GA＝GB，∴GA＝GC，

∵AB∥CD，∴，∴CH＝AB＝6，

∵CE＝x，∴EF＝x，HE＝6﹣x，

∵∠HFE＝90°，∴，

解得，即；

②當(dāng)CB＝CG＝8時(shí)，AG＝10﹣8＝2，

∵AB∥CD，∴，∴CH＝4AB＝24，

∵CE＝x，∴EF＝x，HE＝24﹣x，

∵∠HFE＝∠HCB＝90°，∴，

解得，即；

③當(dāng)BC＝BG時(shí)，F點(diǎn)與G點(diǎn)重合，如備用圖，

由翻折可得，BE垂直平分線(xiàn)段GC，

∵∠CBE+∠BCA＝90°＝∠CAB+∠BCA，∴∠CBE＝∠CAB，

∴，

∴，解得，

綜上所述，CE的長(zhǎng)為或或．