Question

【題目】如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內角∠ABC、外角∠ACF．以下結論：
①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；
⑤∠BDC= ∠BAC．
其中正確的結論有（　�。�

A.2個
B.3個
C.4個
D.5個

Answer 1

【答案】B
【解析】解答：由三角形的外角性質得，∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，∵AD是∠EAC的平分線，∴∠EAC=2∠EAD，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正確；
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD，∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，故②正確；
∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCF，∵CD是∠ACF的平分線，∴∠ADC= ∠ACF= （180°-∠ACB）= （180°-∠ABC）=90°-∠ABD，故③正確；
由三角形的外角性質得，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠DCF=∠BDC+∠DBC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
∴∠DBC= ∠ABC，∠DCF= ∠ACF，
∴∠DBC +∠BDC = ∠ACF= （∠ABC+∠BAC）= ∠ABC+ ∠BAC=∠DBC+ ∠BAC，
∴∠BDC= ∠BAC，故⑤正確；
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∵∠ABC與∠BAC不一定相等，
∴∠ADB與∠BDC不一定相等，
∴BD平分∠ADC不一定成立，故④錯誤；
綜上所述，結論正確的是①②③⑤共4個.
分析：此本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義，三角形的內角和定理，平行線的判定與性質，熟記各性質并綜合分析，理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．
【考點精析】本題主要考查了三角形的外角的相關知識點，需要掌握三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角才能正確解答此題．