Question

閱讀以下材料并填空．
平面上有n個點(diǎn)（n≥2），且任意三個點(diǎn)不在同一直線上，過這些點(diǎn)作直線，一共能作出多少條不同的直線？
（1）分析：當(dāng)僅有兩個點(diǎn)時，可連成1條直線；
當(dāng)有3個點(diǎn)時，可連成3條直線；
當(dāng)有4個點(diǎn)時，可連成6條直線；
當(dāng)有5個點(diǎn)時，可連成10條直線；
…
（2）歸納：考察點(diǎn)的個數(shù)n和可連成直線的條數(shù)S_n，發(fā)現(xiàn)：
（3）推理：平面上有n個點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條直線．取第一個點(diǎn)A有n種取法，取第二個點(diǎn)B有（n-1）種取法，所以一共可連成n（n-1）條直線，但AB與BA是同一條直線，故應(yīng)除以2，即Sn=

n(n-1)

2

．
（4）結(jié)論：Sn=

n(n-1)

2

．

點(diǎn)的個數(shù)	可連成直線條數(shù)
2	l=S2= 2×1 2
3	3=S3= 3×2 2
4	6=S4= 4×3 2
5	10=S5= 5×4 2
…	…
n	Sn= n(n-1) 2

試探究以下問題：
平面上有n（n≥3）個點(diǎn)，任意三個點(diǎn)不在同一直線上，過任意三點(diǎn)作三角形，一共能作出多少不同的三角形？
①分析：
當(dāng)僅有3個點(diǎn)時，可作

 

個三角形；
當(dāng)有4個點(diǎn)時，可作

 

個三角形；
當(dāng)有5個點(diǎn)時，可作

 

個三角形；
…
②歸納：考察點(diǎn)的個數(shù)n和可作出的三角形的個數(shù)S_n，發(fā)現(xiàn)：

點(diǎn)的個數(shù)	可連成三角形個數(shù)
3
4
5
…	…
n

③推理：

 

取第一個點(diǎn)A有n種取法，
取第二個點(diǎn)B有（n-1）種取法，
取第三個點(diǎn)C有（n-2）種取法，
但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個三角形，故應(yīng)除以6．
④結(jié)論：

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)閱讀材料發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律與解題思．分析可得平面上有n個點(diǎn)，過不在同一條直線上的三點(diǎn)可以確定一個三角形，取第一個點(diǎn)A有n種取法，取第二個點(diǎn)B有（n-1）種取法，取第三個點(diǎn)C有（n-2）種取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）個三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個三角形，故應(yīng)除以6，故可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)僅有3個點(diǎn)時，可作1個三角形；
當(dāng)有4個點(diǎn)時，可作4個三角形；
當(dāng)有5個點(diǎn)時，可作10個三角形．

（2）當(dāng)n=3時，可作出的三角形的個數(shù)S₃=

3×2×1

6

；
當(dāng)n=4時，可作出的三角形的個數(shù)S₄=

4×3×2

6

；
當(dāng)n=5時，可作出的三角形的個數(shù)S₅=

5×4×3

6

；
當(dāng)點(diǎn)的個數(shù)是n時，可作出的三角形的個數(shù)S_n=

n(n-1)(n-2)

6

．

（3）平面上有n個點(diǎn)，過不在同一條直線上的三點(diǎn)可以確定一個三角形，取第一個點(diǎn)A有n種取法，取第二個點(diǎn)B有（n-1）種取法，取第三個點(diǎn)C有（n-2）種取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）個三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個三角形，故應(yīng)除以6，即Sn=

n(n-1)(n-2)

6

．

（4）Sn=

n(n-1)(n-2)

6

．

點(diǎn)評：本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．