Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是線段AD上的一個動點(E與A、D不重合)，G、F、H分別是BE、BC、CE的中點．

    (1)試探索四邊形EGFH的形狀，并說明理由．

    (2)當點E運動到什么位置時，四邊形EGFH是菱形?并加以證明．

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，請?zhí)剿骶�段EF與線段BC的關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）四邊形EGFH是平等四邊形

理由是：∵G、G、H分別是BE、BC、CE的中點，

∴GF//EH，GF=EH

∴四邊形EGFH是平形四邊形

（2）當點E是AD的中點，四邊形EGFH是菱形。

證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠A=∠D

∵AE=DE，∴△ABE≌△DCE，∴BE=CE

∵G、H分別是BE、CE的中點，∴EG=EH

又由（1）知四邊形EGFH是平等四邊形，∴四邊形EGFH是菱形

（3）EF⊥BC，EF=BC

證明：∵四邊形EGFH是正方形，

∵EG=EH，∠BEC=90°

∵G、H分別是BE、CE的中點，∴EB=EC

∵F是BC的中點，

∴EF⊥BC，EF=BC