Question

【題目】如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別為邊、上兩點(diǎn)，，過點(diǎn)作，且點(diǎn)為邊延長線上一點(diǎn)．

（1）嗎？說明理由．

（2）若線段，，求線段的長度．

（3）若，，求線段的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）12；（3）EF=10

【解析】

（1）通過正方形的性質(zhì)可得AB=AD、∠ABG =∠D，即可證明△GAB≌△FAD．

（2）通過證明△GAE≌△FAE(SAS)和△GAB≌△FAD，可得EF=GE和GB=DF，從而可得EF=GE=GB+BE=FD+BE=8+4=12．

（3）設(shè)EF=x，則BE=GEBG=x4，根據(jù)EC=BCBE可得EC=12(x4)=16x，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．

（1）全等．

證明：∵四邊形ABCD為正方形

∴AB=AD，∠ABE=∠D=90，

∴∠ABG =90=∠D

在△ABG和△ADF中，

∴△GAB≌△FAD．

（2）∵∠BAD=90，∠EAF=45

∴∠DAF+∠BAE=45

∵△GAB≌△FAD

∴∠GAB=∠FAD，AG=AF

∴∠GAB+∠BAE=45

∴∠GAE=45

∴∠GAE=∠EAF

在△GAE和△FAE中

∴△GAE≌△FAE(SAS)

∴EF=GE．

∵△GAB≌△FAD

∴GB=DF

∴EF=GE=GB+BE=FD+BE=8+4=12．

（3）設(shè)EF=x，則BE=GEBG=x4．

∵EC=BCBE，

∴EC=12(x4)=16x．

在Rt△EFC中，依據(jù)勾股定理可知：

EF2=FC2+EC2，

即(16x) 2+82=x2，

解得：x=10．

∴EF=10．