【題目】如圖1,已知平行四邊形ABCO,以點O為原點,OC所在的直線為x軸,建立直角坐標系,AB交y軸于點D,AD=2,OC=6,∠A=60°,線段EF所在的直線為OD的垂直平分線,點P為線段EF上的動點,PM⊥x軸于點M點,點E與E′關于x軸對稱,連接BP、E′M.
(1)請直接寫出點A的坐標為_____,點B的坐標為_____;
(2)當BP+PM+ME′的長度最小時,請直接寫出此時點P的坐標為_____;
(3)如圖2,點N為線段BC上的動點且CM=CN,連接MN,是否存在點P,使△PMN為等腰三角形?若存在,請求出所有滿足要求的EP的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(﹣2,2),(4,2);(2)(2,);(3)EP的值為3或6﹣或5.
【解析】
(1)由30°直角三角形的性質(zhì)求出OD的長,再由平行四邊形的性質(zhì)求出BD的長即可解決問題;
(2)首先證明四邊形OPME′是平行四邊形,可得OP=EM,因為PM是定值,推出PB+ME′=OP+PB的值最小時,BP+PM+ME′的長度最小;
(3)分三種情形畫出圖形分別求解即可解決問題.
(1)如圖1中,
在Rt△ADO中,∵∠A=60°,∴∠AOD=30°.∵AD=2,∴OD =2,∴A(﹣2,2),
∵四邊形ABCO是平行四邊形,∴AB=OC=6,∴DB=6﹣2=4,∴B(4,2);
(2)如圖1中,連接OP.
∵EF垂直平分線段OD,PM⊥OC,∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°,∴四邊形OMPE是矩形,∴PM=OE=.
∵OE=OE′,∴PM=OE′,PM∥OE′,∴四邊形OPME′是平行四邊形,∴OP=EM,
∵PM是定值,∴PB+ME′=OP+PB的值最小時,BP+PM+ME′的長度最小,∴當O、P、B共線時,BP+PM+ME′的長度最小.
∵直線OB的解析式為y=x,∴P(2,).
故答案為:(2,).
(3)如圖2中,當PM=PN=時,
∵AOCB是平行四邊形,∴∠MCN=∠A=60°.∵MC=CN,∴△MNC是等邊三角形,∴∠CMN=∠CNM=60°.
∵PM⊥OC,∴∠PMN=∠PNM=30°,∴∠PNF=30°+60°=90°,
∵∠PFN=∠BCO=60°,∴∠NPF=30°,NF=1,∴PF=2NF=2,
∵EF==5,∴PE=5﹣2=3.
如圖3中,當PM=MN時,
∵PM=MN=CM=,∴EP=OM=6﹣.
如圖4中,當點P與F重合時,NP=NM,此時PE=EF=5.
綜上所述:滿足條件的EP的值為3或6﹣或5.
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【題目】如圖,已知拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點,其中點A(0,1),點B(﹣9,10),AC∥x軸,點P是直線AC下方拋物線上的動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F,當四邊形AECP的面積最大時,求點P的坐標;
(3)當點P為拋物線的頂點時,在直線AC上是否存在點Q,使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,若存在,求出點Q的坐標,若不存在,請說明理由.
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【題目】某公司為一工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費提供貨源,待貨物售出后再進行結(jié)算,未售出的由廠家負責處理).當每噸售價為260元時,月銷售量為45噸.該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營利潤,準備采取降價的方式進行促銷.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):當每噸售價每下降10元時,月銷售量就會增加7.5噸.綜合考慮各種因素,每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元.設每噸材料售價為x(元),該經(jīng)銷店的月利潤為y(元).
(1)當每噸售價是240元時,計算此時的月銷售量;
(2)求出y與x的函數(shù)關系式(不要求寫出x的取值范圍);
(3)該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤,售價應定為每噸多少元?
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【題目】如圖,△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點B旋轉(zhuǎn)60°而得,且AB⊥BC,BE=CE,連接DE.
(1)求證:△BDE≌△BCE;
(2)試判斷四邊形ABED的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=10,等腰直角三角形ADE繞著點A旋轉(zhuǎn),∠DAE=90°,AD=AE=6,連接BD、CD、CE,點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點,連接MP、PN、MN,則△PMN的面積最大值為_____.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y= 的圖像交于點A﹙﹣2,﹣5﹚C﹙5,n﹚,交y軸于點B,交x軸于點D.
(1)求反比例函數(shù)y= 和一次函數(shù)y=kx+b的表達式;
(2)連接OA,OC.求△AOC的面積.、
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【題目】如圖,直線AB的解析式為y=x+4,與y軸交于點A,與x軸交于點B,點P為線段AB上的一個動點,作PE⊥y軸于點E,PF⊥x軸于點F,連接EF,則線段EF的最小值為_____.
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【題目】如圖,購買一種蘋果,所付款金額y(元)與購買量x(千克)之間的函數(shù)圖象由線段OA和射線AB組成,則一次購買5千克這種蘋果比分五次購買1千克這種蘋果可節(jié)。ā 。┰
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
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【題目】在正方形ABCD中,對角線AC與BD交于點O;在Rt△PMN中,∠MPN=90°.
(1)如圖1,若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB,分別交AD、AB于點E、F,請直接寫出PE與PF的數(shù)量關系;
(2)將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α<45°).
①如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中(1)中的結(jié)論依然成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;
②如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中,當∠DOM=15°時,連接EF,若正方形的邊長為2,請直接寫出線段EF的長;
③如圖3,旋轉(zhuǎn)后,若Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動(不與點O、B重合),當BD=3BP時,猜想此時PE與PF的數(shù)量關系,并給出證明;當BD=mBP時,請直接寫出PE與PF的數(shù)量關系.
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