Question

（2009•雅安）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)B的切線與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，且∠BEC=90°，點(diǎn)D在OA的延長(zhǎng)線上，AO⊥BC，∠ODC=30°．
（1）求證：DC為⊙O的切線．
（2）若CA=6，求DC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由半徑OA垂直于BC，利用垂徑定理得到A為

BC

的中點(diǎn)，可得出兩條弧相等，根據(jù)等弧對(duì)等角可得出∠ABC=∠ACB，又BE為圓O的切線，根據(jù)弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角可得出∠EBA=∠ACB，等量代換可得出三個(gè)角相等，由BE與EC垂直得到∠E為直角，可得出三個(gè)角都為30°，再利用同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍，可得出∠AOC為60°，又∠ADC為30°，在三角形ODC中，利用三角形的內(nèi)角和定理得到∠OCD為90°，根據(jù)垂直的定義得到OC垂直于CD，即可得出此時(shí)CD為圓O的切線；
（2）由OA=OC，且∠AOC為60°，得到三角形AOC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三邊長(zhǎng)相等可得出OA=OC=AC，由AC的長(zhǎng)得出OC的長(zhǎng)，在直角三角形OCD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠ODC，將OC及tan30°的值代入即可求出CD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接OC，如圖所示：
∵AO⊥BC，且O為圓心，
∴點(diǎn)A為

BC

的中點(diǎn)，即

AB

=

AC

，
∴∠BCA=∠ABC，
又BE為切線，
∴∠ABE=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB=∠ABC，
∵∠BEC=90°，
∴∠ABE=∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，又∠ODC=30°，
∴∠OCD=180°-∠AOC-∠ODC=90°，
∴OC⊥CD，
則CD為圓O切線；

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC為等邊三角形，
∴OA=OC=AC=6，
在Rt△OCD中，∠ODC=30°，
∴tan∠ODC=tan30°=

OC

CD

，
則CD=

OC

tan30°

=6

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及特殊角的三角函數(shù)值，其中證明切線的方法有兩種：有點(diǎn)連接證垂直；無(wú)點(diǎn)作垂線證垂線段長(zhǎng)度等于半徑，本題第一問(wèn)用的是第一種方法．