Question

如圖1，點A（8，1）、B（n，8）都在反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥y軸于D．

（1）求m的值和直線AB的函數(shù)關(guān)系式；

（2）動點P從O點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線OD﹣DB向B點運動，同時動點Q從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線OC向C點運動，當動點P運動到D時，點Q也停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．

①設(shè)△OPQ的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；

②如圖2，當?shù)腜在線段OD上運動時，如果作△OPQ關(guān)于直線PQ的對稱圖形△O′PQ，是否存在某時刻t，使得點Q′恰好落在反比例函數(shù)的圖象上？若存在，求Q′的坐標和t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點A（8，1）、B（n，8）都在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

∴m=8×1=8，

∴y= ，

∴8= ，即n=1，

設(shè)AB的解析式為y=kx+b，

解：（1）∵點A（8，1）、B（n，8）都在反比例函數(shù)y=的圖象上， ∴m=8×1=8， ∴y=， ∴8=，即n=1， 設(shè)AB的解析式為y=kx+b， 把（8，1）、B（1，8）代入上式得： ， 解得：． ∴直線AB的解析式為y=﹣x+9； （2）①由題意知：OP=2t，OQ=t， 當P在OD上運動時， S===t2（0＜t≤4）， 當P在DB上運動時， S==t×8=4t（4＜t≤4.5）； ②存在， 作PE⊥y軸，O′F⊥x軸于F，交PE于E， 則∠E=90°，PO′=PO=2t，QO′=QO=t， 由題意知：∠PO′Q=∠POQ=90°﹣∠PO′E， ∠EPO′=90′﹣∠PO′E ∴△PEO′∽△O′FQ， ∴==， 設(shè)QF=b，O′F=a， 則PE=OF=t+b，OE=2t﹣a， ∴， 解得：a=，b=， ∴O′（t，t）， 當Q′在反比例函數(shù)的圖象上時， ， 解得：t=±， ∵反比例函數(shù)的圖形在第一象限， ∴t＞0， ∴t=． 當t=個長度單位時，Q′恰好落在反比例函數(shù)的圖象上．

本題主要考查了反比例函數(shù)的意義，利用圖象和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的意義和能數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．