Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E,O是AB上一點(diǎn)，經(jīng)過A,E兩點(diǎn)的⊙O交AB于點(diǎn)D，連接DE，作∠DEA的平分線EF交⊙O于點(diǎn)F，連接AF.

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若sin∠EFA=,AF=,求線段AC的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6.4.

【解析】

（1）連接OE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線定義可得，根據(jù)平行線的判定可得OE∥AC，再由平行線的性質(zhì)可得∠BEO=∠C=90°，即可證得結(jié)論；（2）連接,根據(jù)已知條件易證.在中，根據(jù)勾股定理求得.根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等及已知條件可得.在中求得AE的長(zhǎng)，再證明ΔACE∽ΔAED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得線段AC的長(zhǎng).

證明：（1）如圖1，連接，

∵，

∴.

∵平分，

∴.

∴.

∴∥ ,

∴.

∴

∵為的半徑，

∴是的切線.

（2）如圖2，連接.

由題可知為的直徑，

∴.

∵平分，

∴.

∴.

∴△AFD為等腰直角三角形，

∴.

在中，，

∴.

∴.

∵，，

∴.

在中，.

∴ .

∵，，

∴∽.

∴.

∴（或6.4）