(2009•邯鄲二模)兩個(gè)等腰直角三角形ABC,ADE,如圖①擺放(E點(diǎn)在AB上),連BD,取BD的中點(diǎn)P,連PC、PE,則有PC=PE,PC⊥PE.
(1)將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使E點(diǎn)落在AC上,如圖②,結(jié)論是否仍成立?請(qǐng)證明你的判斷.如果你經(jīng)過反復(fù)探索,沒有找到解決問題的辦法,可通過連接AP,延長PE或延長DE,延長AD,延長BC的途徑來完成你的證明.
(2)如圖③,當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°時(shí),連DC,若DC∥AB,求
ACAD
的值.
分析:(1)結(jié)論仍成立,理由如下:在圖②上連接AP,延長PE與AD交于點(diǎn)M,由三角形ABC與三角形ADE都為等腰直角三角形,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAB與∠DAE都為45°,進(jìn)而得到∠DAB為直角,又P為斜邊BD的中點(diǎn),AP為斜邊上的中線,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,可得DP=BP=AP,再由AC=BC,且CP為公共邊,利用SSS可證明三角形ACP與三角形BCP全等,可得∠ACP=∠BCP,從而得到∠ECP=45°,同理可得三角形DPE與三角形APE全等,可得∠DEP=∠AEP,即∠CEP=∠AEM=45°,可得三角形EPC為等腰直角三角形,得證;
(2)過D作DF垂直于AC,垂足為F,由三角形ABC為等腰三角形且DC與AB平行,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DCF=45°,可得三角形DCF為等腰直角三角形,得到DF=CF,在直角三角形ADF中,設(shè)30°角所對(duì)的直角邊DF=k,斜邊AD=2k,根據(jù)勾股定理求得AF=
3
k,由AF+FC表示出AC,即可求出AC與AD的比值.
解答:解:(1)結(jié)論仍然成立.理由為:
連接AP,延長PE交AD于點(diǎn)M,
∵△ABC、△ADE均為等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠DAE=45°,∴∠DAB=90°,
∵P為BD中點(diǎn),∴PA=PB=PD,
在△APC和△BPC中,
PA=PB
PC=PC
AC=BC
,
∴△APC≌△BPC(SSS),
∴∠ACP=∠BCP=
1
2
∠ACB=45°,
同理可得△APE≌△DPE,
∴∠APE=∠DPE,∠PAE=∠PDE,
∴∠APE+∠PAE=∠DPE+∠PDE,即∠AEM=∠DEM=
1
2
∠AED=45°,
∴∠CEP=∠AEM=45°,
∴∠CPE=90°,
∴△CPE為等腰直角三角形,即PC=PE,PC⊥PE;


(2)過D作DF⊥AC,垂足為F,
∵DC∥AB,∴∠DCF=∠CAB=45°,
∴DF=CF,
在Rt△ADF中,∠DAF=30°,
設(shè)DF=k,則有AD=2k,AF=
3
k,
∴AC=AF+FC=
3
k+k=(
3
+1)k,
AC
AD
=
(
3
+1)k
2k
=
3
+1
2
點(diǎn)評(píng):此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì),其中第二、三問根據(jù)題意及分析作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.
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35
,點(diǎn)EFBC在同一直線上,且FB=1cm,矩形從F點(diǎn)開始以1cm/s的速度沿直線FC向右移動(dòng),當(dāng)D點(diǎn)落在邊CF所在直線上即停止.
(1)在矩形運(yùn)動(dòng)過程中,何時(shí)矩形的一邊恰好通過平行四邊形的邊AB或CD的中點(diǎn)?
(2)在矩形運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)矩形與平行四邊形重疊部分為五邊形時(shí),求出重疊面積S(cm2)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出時(shí)間t的范圍.是否存在某一時(shí)刻,使得重疊部分的面積S=16.5cm2?若存在,求出時(shí)間t,若不存在,說明理由.(3)若矩形運(yùn)動(dòng)的同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿C-D-A-B的路線,以0.5cm/s的速度運(yùn)動(dòng),矩形停止時(shí)點(diǎn)Q也即停止運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)Q在進(jìn)行一邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少s?

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