Question

如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm．沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂兩個(gè)三角形（如圖2所示）．將紙片△AC₁D₁沿直線D₂B（AB）方向平移（點(diǎn)A、D₁、D₂、B始終在同一直線上），當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移．設(shè)平移的速度是1cm/秒，平移的時(shí)間為x（秒），△AC₁D₁與△BC₂D₂重疊部分面積為y（cm²）．
（1）求CD的長(zhǎng)和斜邊上的高CH；
（2）在平移過(guò)程中（如圖3），設(shè)C₁D₁與BC₂交于點(diǎn)E，AC₁與C₂D₂、BC₂分別交于點(diǎn)F、P．那么四邊形FD₂D₁E是否可能是菱形？為什么？如果可能，請(qǐng)求出相應(yīng)的D₁E=D₂F的值；
（3）請(qǐng)寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；
（4）是否存在這樣的x的值，使重疊部分面積為3cm²？若存在，求出相應(yīng)的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AB的值，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以求出CD的值，根據(jù)三角形的面積公式就可以求出CH的值；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)就可以得出當(dāng)D₂F=D₂D₁時(shí)就可以求出D₁E=D₂F的值；
（3）分情況討論，如圖3，當(dāng)0≤x≤5時(shí)，如圖4，當(dāng)5＜x≤10時(shí)，由三角形的面積公式就可以求出結(jié)論；
（4）當(dāng)y=3時(shí)分別代入（3）的解析式就可以求出x的值．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴在直角三角形ABC中，由勾股定理，得
AB=10．
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴CD=

1

2

AB=5．
∵

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CH，
∴

1

2

×6×8=

1

2

×10CH，
∴CH=4.8；

（2）可能，當(dāng)D₂F=D₂D₁時(shí)，四邊形FD₂D₁E是菱形．
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
∵∠ACB=90°，CD是斜邊上的中線，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD₂=∠A，
∴AD₂=D₂F，同理：BD₁=D₁E，
∴AD₂=BD₁，
∴D₁E=D₂F，
∵D₁E∥D₂F，
∴四邊形FD₂D₁E是平行四邊形．
∵D₂F=D₂D₁，
∴平行四邊形FD₂D₁E是菱形．
∵AD₂=x，
∴D₂D₁=5-x，
∴x=5-x，
∴x=2.5，
∴D₁E=D₂F=2.5；

（3）如圖3，當(dāng)0≤x≤5時(shí)，
∵D₂D₁=x
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，
∴C₂F=C₁E=x．
∵在△ABC中，sin∠CDB=

CH

CD

=

24

25

，
∴sin∠ED₁B=

24

25

．
設(shè)△BED₁的BD₁邊上的高為h，
∴h=

24(5-x)

25

，
∴S_△BD1E=

1

2

×BD₁×h=

12

25

(5-x)2．
∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90°．
∵∠C₂=∠B，
∴sin∠B=

4

5

，cos∠B=

3

5

，
∴PC₂=

3

5

x，PF=

4

5

x，
∴S_△FC2P=

1

2

PC2×PF=

6

25

x²．
∴y=S_△D2C2B-S_△BD1E-

1

2

S_△ABC-

12

25

(5-x)2-=

6

25

x²，
∴y=-

18

25

x²+

24

5

x；
如圖4，當(dāng)5＜x≤10時(shí)，
∵D2D1=x，BD2=AD1=5，
∴BD1=x-5，
∴AB=5-（x-5）=10-x．
∵sin∠PBA=

PA

AB

=

4

5

，cos∠PBA=

PB

AB

=

3

5

，
∴PA=

4

5

(10-x)，PB=

3

5

（10-x），
∴y=

1

2

×PA×PB=

1

2

×

4

5

(10-x)×

3

5

（10-x），
y=

6

25

（10-x）²．
綜上可得：y=

- 18 25 x2+ 4 25 x(0≤x≤5) 6 25 (10-x)2(5＜x≤10)

（4）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，
-

18

25

x²+

24

5

x=3，
解得：x₁=

20+5 10

6

＞5（舍去），x₂=

20-5 10

6

；
當(dāng)5＜x≤10時(shí)，

6

25

（10-x）²=3，
解得：x₁=10+

5 2

2

＞10（舍去），x₂=10-

5 2

2

；
∴當(dāng)x=

20-5 10

6

或x=10-

5 2

2

時(shí)，重疊部分的面積等于3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，菱形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形面積公式的運(yùn)用，三角函數(shù)的運(yùn)用，分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．