已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中點，連接AE、AC．

求證：（1）點F是DC上一點，連接EF，交AC于點O（如圖1），△AOE∽△COF；
（2）若點F是DC的中點，連接BD，交AE與點G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．

（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．

解析試題分析：（1）由點E是BC的中點，BC=2AD，可證得四邊形AECD為平行四邊形，即可得△AOE∽△COF；
（2）連接DE，易得四邊形ABED是平行四邊形，又由∠ABE=90°，可證得四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易證得EF=GD=GE=DF，則可得四邊形EFDG是菱形．
試題解析：（1）∵點E是BC的中點，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD，又∵AD∥BC，∴四邊形AECD為平行四邊形，∴AE∥DC，∴△AOE∽△COF；
（2）連接DE，∵AD∥BE，AD=BE，∴四邊形ABED是平行四邊形，又∠ABE=90°，∴四邊形ABED是矩形，∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，∴E、F分別是BC、CD的中點，∴EF、GE是△CBD的兩條中位線，∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF，∴四邊形EFDG是菱形．

考點：1．相似三角形的判定；2．菱形的判定．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（1）如圖1,在等邊△ABC中,點M是邊BC上的任意一點（不含端點B、C）,聯(lián)結(jié)AM,以AM為邊作等邊△AMN,聯(lián)結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．

【類比探究】
（2）如圖2,在等邊△ABC中,點M是邊BC延長線上的任意一點（不含端點C）,其它條件不變,（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．

【拓展延伸】
（3）如圖3,在等腰△ABC中,BA=BC,點M是邊BC上的任意一點（不含端點B、C）,聯(lián)結(jié)AM,以AM為邊作等腰△AMN,使頂角∠AMN=∠ABC．聯(lián)結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系,并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求證：△ABD∽△CBE．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖1，菱形ABCD中，∠A=60°，點P從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運(yùn)動到D終止，點Q從A與P同時出發(fā)，沿邊AD勻速運(yùn)動到D終止，設(shè)點P運(yùn)動的時間為t（s）．△APQ的面積S（cm2）與t（s）之間函數(shù)關(guān)系的圖象由圖2中的曲線段OE與線段EF、FG給出．

（1）求點Q運(yùn)動的速度；
（2）求圖2中線段FG的函數(shù)關(guān)系式；
（3）問：是否存在這樣的t，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知：如圖，△ABC中，點D、E是邊AB上的點，CD平分∠ECB，且.

（1）求證：△CED∽△ACD；
（2）求證：.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P．

（1）當(dāng)點P在線段AB上時，求證：△APQ∽△ABC；
（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時，求AP的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示．某校計劃將一塊形狀為銳角三角形ABC的空地進(jìn)行生態(tài)環(huán)境改造．已知△ABC的邊BC長120米，高AD長80米．學(xué)校計劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如圖）．其中矩形EFGH的一邊EF在邊BC上．其余兩個頂點H、G分別在邊AB、AC上．現(xiàn)計劃在△AHG上種草，每平方米投資6元；在△BHE、△FCG上都種花，每平方米投資10元；在矩形EFGH上興建愛心魚池，每平方米投資4元．

（1）當(dāng)FG長為多少米時，種草的面積與種花的面積相等？
（2）當(dāng)矩形EFGH的邊FG為多少米時，△ABC空地改造總投資最小，最小值為多少？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖(1)，∆ABC為等邊三角形，AB=6，在直角三角板DEF中∠F=90°，∠FDE=60°，點D在邊BC上運(yùn)動，邊DF始終經(jīng)過點A，DE交AC于點G.

(1)求證:①∠BAD=∠CDG
②∆ABD∽∆DCG
(2)設(shè)BD=x,若CG=，求x的值；
(3)如圖2，當(dāng)D運(yùn)動到BC中點時，點P為線段AD上一動點，連接CP，將線段CP繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到CP' ，連接BP'，DP'，

①求∠CBP'的度數(shù)；②求DP'的最小值.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

為了測量旗桿AB的高度．甲同學(xué)畫出了示意圖1，并把測量結(jié)果記錄如下，BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD=a，CA=b，CE=c；乙同學(xué)畫出了示意圖2，并把測量結(jié)果記錄如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE=m，AE=n，∠BDC=α．

（1）請你幫助甲同學(xué)計算旗桿AB的高度（用含a、b、c的式子表示）；
（2）請你幫助乙同學(xué)計算旗桿AB的高度（用含m、n、α的式子表示）．

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同步練習(xí)冊答案